正規分布のモーメント母関数の導出

モーメント母関数の定義式 $M_X\left(\theta \right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\theta x}\cdot f\left(x\right)dx$ より、 $$\begin{array}{rl}{M}_X\left(\theta \right)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\theta x}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}dx\\ \text{(1)}& & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{{(x-\mu )}^2-2{\sigma }^2\theta x}{2{\sigma }^2}}dx\end{array}$$ 指数の分子を変形（平方完成）すると、 $$\begin{array}{rl}{(x-\mu )}^2-2{\sigma }^2\theta x& =x^2-2\mu x+{\mu }^2-2{\sigma }^2\theta x\\ & =x^2-2(\mu +{\sigma }^2\theta )x+{(\mu +{\sigma }^2\theta )}^2-{(\mu +{\sigma }^2\theta )}^2+{\mu }^2\\ & ={\{x-(\mu +{\sigma }^2\theta )\}}^2-2\mu {\sigma }^2\theta -{\sigma }^4{\theta }^2\end{array}$$ よって、 $$\begin{array}{r}-\frac{{(x-\mu )}^2-2{\sigma }^2\theta x}{2{\sigma }^2}=-\frac{{\{x-(\mu +{\sigma }^2\theta )\}}^2}{2{\sigma }^2}+(\mu \theta +\frac{1}{2}{\sigma }^2{\theta }^2)\end{array}$$ したがって、式 $(1)$ は、 $$\begin{array}{rl}{M}_X\left(\theta \right)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{{\{x-(\mu +{\sigma }^2\theta )\}}^2}{2{\sigma }^2}}\cdot e^{\mu \theta +\frac{1}{2}{\sigma }^2{\theta }^2}dx\\ & =e^{\mu \theta +\frac{1}{2}{\sigma }^2{\theta }^2}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{{\{x-(\mu +{\sigma }^2\theta )\}}^2}{2{\sigma }^2}}dx\end{array}$$ ここで、右辺の積分部分は、正規分布 $$\begin{array}{r}\mathrm{N}(\mu +{\sigma }^2\theta ,{\sigma }^2)\end{array}$$ の確率密度関数とみなすことができる。 したがって、確率密度関数の性質より、 $$\begin{array}{r}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{{\{x-(\mu +{\sigma }^2\theta )\}}^2}{2{\sigma }^2}}dx=1\end{array}$$ よって、 $$\begin{array}{r}{M}_X\left(\theta \right)=e^{\mu \theta +\frac{1}{2}{\sigma }^2{\theta }^2}\end{array}$$ 標準正規分布 $\mathrm{N}(0,1)$ のモーメント母関数 $M_Z\left(\theta \right)$ は、 $$\begin{array}{r}\mu =0{\sigma }^2=1\end{array}$$ を代入して、 $$\begin{array}{r}{M}_Z\left(\theta \right)=e^{\frac{1}{2}{\theta }^2}\end{array}$$ $◼$