正規分布のモーメント母関数の導出

モーメント母関数の定義式 $M_X \left(\theta\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{\theta x} \cdot f \left(x\right)dx}$ より、 \begin{align} M_X \left(\theta\right)&=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{\theta x} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{ \left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}}dx}\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{ \left(x-\mu\right)^2-2\sigma^2\theta x}{2\sigma^2}}dx}\tag{1} \end{align} 指数の分子を変形（平方完成）すると、 \begin{align} \left(x-\mu\right)^2-2\sigma^2\theta x&=x^2-2\mu x+\mu^2-2\sigma^2\theta x\\ &=x^2-2 \left(\mu+\sigma^2\theta\right)x+ \left(\mu+\sigma^2\theta\right)^2- \left(\mu+\sigma^2\theta\right)^2+\mu^2\\ &= \left\{x- \left(\mu+\sigma^2\theta\right)\right\}^2-2\mu\sigma^2\theta-\sigma^4\theta^2 \end{align} よって、 \begin{align} -\frac{ \left(x-\mu\right)^2-2\sigma^2\theta x}{2\sigma^2}=-\frac{ \left\{x- \left(\mu+\sigma^2\theta\right)\right\}^2}{2\sigma^2}+ \left(\mu\theta+\frac{1}{2}\sigma^2\theta^2\right) \end{align} したがって、式 $(1)$ は、 \begin{align} M_X \left(\theta\right)&=\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{ \left\{x- \left(\mu+\sigma^2\theta\right)\right\}^2}{2\sigma^2}} \cdot e^{\mu\theta+\frac{1}{2}\sigma^2\theta^2}dx}\\ &=e^{\mu\theta+\frac{1}{2}\sigma^2\theta^2}\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{ \left\{x- \left(\mu+\sigma^2\theta\right)\right\}^2}{2\sigma^2}}dx} \end{align} ここで、右辺の積分部分は、正規分布 \begin{align} \mathrm{N} \left(\mu+\sigma^2\theta,\sigma^2\right) \end{align} の確率密度関数とみなすことができる。 したがって、確率密度関数の性質より、 \begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{ \left\{x- \left(\mu+\sigma^2\theta\right)\right\}^2}{2\sigma^2}}dx}=1 \end{align} よって、 \begin{align} M_X \left(\theta\right)=e^{\mu\theta+\frac{1}{2}\sigma^2\theta^2} \end{align} 標準正規分布 $\mathrm{N} \left(0,1\right)$ のモーメント母関数 $M_Z \left(\theta\right)$ は、 \begin{align} \mu=0 \quad \sigma^2=1 \end{align} を代入して、 \begin{align} M_Z \left(\theta\right)=e^{\frac{1}{2}\theta^2} \end{align} $\blacksquare$