二項分布の和に関する条件付き分布（＝超幾何分布）

二項分布の再生性より、 $$\begin{array}{r}Z\sim B(n_1+n_2,p)\end{array}$$ 条件付き確率の定義式 $P\left(x\right|z)=\frac{P(Z=x,Z=z)}{P(Z=z)}$ より、 $$\begin{array}{c}P\left(x\right|z)=\frac{P(Z=x,Y=z-x)}{P(Z=z)}\\ g\left(x\right|z)=\frac{f(x,z-x)}{k\left(z\right)}\end{array}$$ 確率関数の独立性の定義 $f(x,y)=g\left(x\right)\cdot h\left(y\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}f\left(x\right|z)& =\frac{g\left(x\right)\cdot h(z-x)}{k\left(z\right)}\\ & =\frac{{}_{n_1}{C}_x{p}^x{(1-p)}^{n_1-x}\cdot {}_{n_2}{C}_{z-x}{p}^{z-x}{(1-p)}^{n_2-(z-x)}}{{}_{n_1+n_2}{C}_z\cdot p^z{(1-p)}^{n_1+n_2-z}}\\ & =\frac{{}_{n_1}{C}_x\cdot {}_{n_2}{C}_{z-x}}{{}_{n_1+n_2}{C}_z}\end{array}$$ これは、超幾何分布の確率関数 $$\begin{array}{r}f\left(x\right)=\frac{{}_k{C}_x\times {}_{N-k}{C}_{n-x}}{{}_N{C}_n}\end{array}$$ において、 $$\begin{array}{r}N=n_1+n_{2}n=z\end{array}$$ と置き換えたものとみなすことができる。 したがって、確率関数の一意性により、確率変数 $X$ の条件付き分布は、超幾何分布 $$\begin{array}{r}X|Z\sim \mathrm{HG}(n_1+n_2,n_1,z)\end{array}$$ となる。 $◼$