二項分布の和に関する条件付き分布（＝超幾何分布）

二項分布の再生性より、 \begin{align} Z \sim B \left(n_1+n_2,p\right) \end{align} 条件付き確率の定義式 $P \left(x\middle| z\right)=\frac{P \left(Z=x,Z=z\right)}{P \left(Z=z\right)}$ より、 \begin{gather} P \left(x\middle| z\right)=\frac{P \left(Z=x,Y=z-x\right)}{P \left(Z=z\right)}\\ g \left(x\middle| z\right)=\frac{f \left(x,z-x\right)}{k \left(z\right)} \end{gather} 確率関数の独立性の定義 $f \left(x,y\right)=g \left(x\right) \cdot h \left(y\right)$ より、 \begin{align} f \left(x\middle| z\right)&=\frac{g \left(x\right) \cdot h \left(z-x\right)}{k \left(z\right)}\\ &=\frac{{}_{n_1}C_xp^x \left(1-p\right)^{n_1-x} \cdot {}_{n_2}C_{z-x}p^{z-x} \left(1-p\right)^{n_2- \left(z-x\right)}}{{}_{n_1+n_2}C_z \cdot p^z \left(1-p\right)^{n_1+n_2-z}}\\ &=\frac{{}_{n_1}C_x \cdot {}_{n_2}C_{z-x}}{{}_{n_1+n_2}C_z} \end{align} これは、超幾何分布の確率関数 \begin{align} f \left(x\right)=\frac{{}_{k}C_x\times{}_{N-k}C_{n-x}}{{}_{N}C_n} \end{align} において、 \begin{align} N=n_1+n_2 \quad n=z \end{align} と置き換えたものとみなすことができる。 したがって、確率関数の一意性により、確率変数 $X$ の条件付き分布は、超幾何分布 \begin{align} \left.X\right|Z \sim \mathrm{HG} \left(n_1+n_2,n_1,z\right) \end{align} となる。 $\blacksquare$