負の二項分布の定義と概要

（i）すべての $x$ に関して、$P \left(x\right) \geq 0$
確率の基本性質より、 \begin{align} 0 \le p \le 1\Rightarrow0 \le 1-p \end{align} 二項係数の性質より、 \begin{align} {}_{n+x-1}C_x \geq 0 \end{align} したがって、 \begin{align} f \left(x\right)={}_{n+x-1}C_xp^n \left(1-p\right)^x \geq 0 \end{align} （ii）すべての確率の和が1
負の二項係数 ${}_{n+x-1}C_x= \left(-1\right)^x \cdot {}_{-n}C_x$ より、 \begin{align} f \left(x\right)&={}_{-n}C_x \left(-1\right)^x \left(1-p\right)^xp^n\\ &={}_{-n}C_x \left[- \left(1-p\right)\right]^xp^n \end{align} よって、 \begin{align} \sum_{x=0}^{\infty}f \left(x\right)&=\sum_{x=0}^{\infty}{{}_{-n}C_x \left[- \left(1-p\right)\right]^xp^n}\\ &=p^n\sum_{x=0}^{\infty}{{}_{-n}C_x \left[- \left(1-p\right)\right]^x}\\ \end{align} 一般化二項定理 $ \left(1+y\right)^a=\sum_{r=0}^{\infty}{{}_{a}C_xy^x}$ において、$a=-n,y=- \left(1-p\right)$ とすると、 \begin{align} \sum_{x=0}^{\infty}{{}_{-n}C_x \left[- \left(1-p\right)\right]^x}&= \left\{1- \left(1-p\right)\right\}^{-n}\\ &=p^{-n} \end{align} したがって、 \begin{align} \sum_{x=1}^{\infty}f \left(x\right)=p^n \cdot p^{-n}=1 \end{align} よって、確率関数の定義を満たしているため、確率関数である。 $\blacksquare$

$n$ 回成功するまでに要した失敗回数が $x$ 回となるとき、総試行回数は、 $n+x$ 回 となる。 このとき、 最初から $n+x-1$ 回目までの間に
$n-1$ 回の成功と $x$ 回の失敗が起こり、
$n+x$ 回目で成功 すればよいので、 \begin{align} P \left(X=x\right)&={}_{n+x-1}C_xp^{n-1} \left(1-p\right)^x \cdot p\\ &={}_{n+x-1}C_xp^n \left(1-p\right)^x \end{align} $\blacksquare$

幾何分布のモーメント母関数の公式より、 \begin{align} M_{X_i} \left(\theta\right)=\frac{p}{1-e^\theta \left(1-p\right)} \end{align} モーメント母関数の性質 $M_Y \left(\theta\right)=\prod_{i=1}^{n}{M_{X_i} \left(\theta\right)}$ より、 \begin{align} M_Y \left(\theta\right)=\prod_{i=1}^{n} \left\{\frac{p}{1-e^\theta \left(1-p\right)}\right\}= \left\{\frac{p}{1-e^\theta \left(1-p\right)}\right\}^n \end{align} これは、負の二項分布のモーメント母関数にほからならない。

したがって、モーメント母関数の一意性により、確率変数 $Y$ は、負の二項分布 \begin{align} Y \sim \mathrm{NB} \left(n,p\right) \end{align} に従う。 $\blacksquare$