負の二項分布の定義と概要-あるノマドの知の旅路～数学・統計学への道

負の二項分布の定義と概要

公開日： 2023/03/23 更新日： 2023/06/04

本稿では、負の二項分布の定義と概要についてまとめています。確率関数であることの証明、確率関数の導出、幾何分布と負の二項分布の関係の証明、期待値・分散、確率母関数、モーメント母関数、再生性の紹介が含まれます。

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負の二項分布

定義・意味

成功確率が $p$ のベルヌーイ試行を繰り返すとき、 $n$ 回成功するまでに要した失敗回数 $X$ が従う離散型確率分布を負の二項分布 negative binomial distribution と呼ぶ。

確率関数

確率関数 $f (x)$ は、 $\begin{matrix} f (x) = {\begin{matrix} _{n + x - 1} C_{x} p^{n} {(1 - p)}^{x} & x = 0, 1, 2, \dots \\ 0 & other \end{matrix} \end{matrix}$ で与えられる。

略記法

また、負の二項分布は、 $\begin{array}{r} NB (n, p) \end{array}$ と略記されることがある。

確率関数であることの証明

証明

（i）すべての $x$ に関して、 $P (x) \geq 0$
確率の基本性質より、 $\begin{array}{r} 0 \leq p \leq 1 \Rightarrow 0 \leq 1 - p \end{array}$ 二項係数の性質より、 $\begin{array}{r} _{n + x - 1} C_{x} \geq 0 \end{array}$ したがって、 $\begin{array}{r} f (x) =_{n + x - 1} C_{x} p^{n} {(1 - p)}^{x} \geq 0 \end{array}$ （ii）すべての確率の和が1
負の二項係数 $_{n + x - 1} C_{x} = {(- 1)}^{x} \cdot_{- n} C_{x}$ より、 $\begin{aligned} f (x) & =_{- n} C_{x} {(- 1)}^{x} {(1 - p)}^{x} p^{n} \\ =_{- n} C_{x} {[- (1 - p)]}^{x} p^{n} \end{aligned}$ よって、 $\begin{aligned} \sum_{x = 0}^{\infty} f (x) & = \sum_{x = 0}^{\infty}_{- n} C_{x} {[- (1 - p)]}^{x} p^{n} \\ = p^{n} \sum_{x = 0}^{\infty}_{- n} C_{x} {[- (1 - p)]}^{x} \end{aligned}$ 一般化二項定理 ${(1 + y)}^{a} = \sum_{r = 0}^{\infty}_{a} C_{x} y^{x}$ において、 $a = - n, y = - (1 - p)$ とすると、 $\begin{aligned} \sum_{x = 0}^{\infty}_{- n} C_{x} {[- (1 - p)]}^{x} & = {1 - (1 - p)}^{- n} \\ = p^{- n} \end{aligned}$ したがって、 $\begin{array}{r} \sum_{x = 1}^{\infty} f (x) = p^{n} \cdot p^{- n} = 1 \end{array}$ よって、確率関数の定義を満たしているため、確率関数である。 $◼$

確率関数の導出

導出

$n$ 回成功するまでに要した失敗回数が $x$ 回となるとき、総試行回数は、 $n + x$ 回となる。このとき、最初から $n + x - 1$ 回目までの間に
$n - 1$ 回の成功と $x$ 回の失敗が起こり、
$n + x$ 回目で成功すればよいので、 $\begin{aligned} P (X = x) & =_{n + x - 1} C_{x} p^{n - 1} {(1 - p)}^{x} \cdot p \\ =_{n + x - 1} C_{x} p^{n} {(1 - p)}^{x} \end{aligned}$ $◼$

【定理】幾何分布と負の二項分布の関係

【定理】
幾何分布と負の二項分布の関係
Relationship between Geometric and Negative Binomial Distribution

確率変数 $\begin{matrix} X = {X_{1}, X_{2}, X_{3}, \dots, X_{n}} \end{matrix}$ が互いに独立に幾何分布 $\begin{matrix} X_{i} \sim G (p) \end{matrix}$ に従うとき、確率変数の和 $\begin{matrix} Y = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n} \end{matrix}$ は、負の二項分布 $\begin{matrix} Y \sim NB (n, p) \end{matrix}$ に従う。

導出

幾何分布のモーメント母関数の公式より、 $\begin{array}{r} M_{X_{i}} (θ) = \frac{p}{1 - e^{θ} (1 - p)} \end{array}$ モーメント母関数の性質 $M_{Y} (θ) = \prod_{i = 1}^{n} M_{X_{i}} (θ)$ より、 $\begin{array}{r} M_{Y} (θ) = \prod_{i = 1}^{n} {\frac{p}{1 - e^{θ} (1 - p)}} = {\frac{p}{1 - e^{θ} (1 - p)}}^{n} \end{array}$ これは、負の二項分布のモーメント母関数にほからならない。

したがって、モーメント母関数の一意性により、確率変数 $Y$ は、負の二項分布 $\begin{array}{r} Y \sim NB (n, p) \end{array}$ に従う。 $◼$

重要事項のまとめ

略記法

$\begin{array}{r} NB (n, p) \end{array}$

パラメータ

$\begin{matrix} n = {1, 2, \dots} \\ 0 < p < 1 \end{matrix}$

確率関数

$\begin{matrix} f (x) = {\begin{matrix} _{n + x - 1} C_{x} p^{n} {(1 - p)}^{x} & x = 0, 1, 2, \dots \\ 0 & other \end{matrix} \end{matrix}$

期待値

$\begin{array}{r} E (X) = \frac{n (1 - p)}{p} \end{array}$

分散

$\begin{array}{r} V (X) = \frac{n (1 - p)}{p^{2}} \end{array}$

確率母関数

$\begin{array}{r} G_{X} (θ) = {\frac{p}{1 - θ (1 - p)}}^{n} \end{array}$

モーメント母関数

$\begin{array}{r} M_{X} (θ) = {\frac{p}{1 - e^{θ} (1 - p)}}^{n} \end{array}$

再生性

負の二項分布には、再生性がある。

参考文献

小寺平治著. 数理統計：明解演習. 共立出版, 1986, p.55
野田一雄, 宮岡悦良著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.117-119
竹村彰通著. 現代数理統計学. 創文社, 1991, p.28
稲垣宣生著. 数理統計学. 裳華房, 2003, p.34-35
久保川達也著, 新井仁之, 小林俊行, 斎藤毅, 吉田朋広編. 現代数理統計学の基礎. 共立出版, 2017, p.36-38

負の二項分布の定義と概要