連続一様分布のモーメント母関数の導出-あるノマドの知の旅路～数学・統計学への道

連続一様分布のモーメント母関数の導出

公開日： 2023/03/24

本稿では、定義に沿った方法で連続一様分布の確率母関数・モーメント母関数を導出しています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

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目次[非表示]

1.【定理】連続一様分布のモーメント母関数
- 1.1.導出
2.関連記事

【定理】連続一様分布のモーメント母関数

【定理】
連続一様分布のモーメント母関数
Moment-Generating Function of Continuous Uniform Distribution

連続一様分布 $U (a, b)$ のモーメント母関数 $M_{X} (θ)$ は、 $\begin{array}{r} M_{X} (θ) = \frac{e^{θ b} - e^{θ a}}{θ (b - a)} \end{array}$ で与えられる。

導出

モーメント母関数の定義式 $M_{X} (θ) = \int_{- \infty}^{\infty} e^{θ x} \cdot f (x) d x$ より、 $\begin{aligned} M_{X} (θ) & = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} e^{θ x} d x \\ = \frac{1}{b - a} {[\frac{1}{θ} e^{θ x}]}_{a}^{b} \\ = \frac{1}{b - a} \cdot \frac{1}{θ} (e^{θ b} - e^{θ a}) \\ = \frac{e^{θ b} - e^{θ a}}{θ (b - a)} \end{aligned}$ $◼$

連続一様分布のモーメント母関数の導出

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導出

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