本稿では、定義に沿った方法で連続一様分布の確率母関数・モーメント母関数を導出しています。
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【定理】連続一様分布のモーメント母関数
【定理】
連続一様分布のモーメント母関数
Moment-Generating Function of Continuous Uniform Distribution
連続一様分布 $\mathrm{U} \left(a,b\right)$ のモーメント母関数 $M_X \left(\theta\right)$ は、 \begin{align} M_X \left(\theta\right)=\frac{e^{\theta b}-e^{\theta a}}{\theta \left(b-a\right)} \end{align} で与えられる。
導出
モーメント母関数の定義式 $M_X \left(\theta\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{\theta x} \cdot f \left(x\right)dx}$ より、 \begin{align} M_X \left(\theta\right)&=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}{e^{\theta x}dx}\\ &=\frac{1}{b-a} \left[\frac{1}{\theta}e^{\theta x}\right]_a^b\\ &=\frac{1}{b-a} \cdot \frac{1}{\theta} \left(e^{\theta b}-e^{\theta a}\right)\\ &=\frac{e^{\theta b}-e^{\theta a}}{\theta \left(b-a\right)} \end{align} $\blacksquare$
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