本稿では、余事象の独立性を証明しています。
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【定理】余事象の独立性
【定理】
余事象の独立性
Independence and Complementary Event
事象 $A$ と事象 $B$ が互いに独立 $P \left(A \cap B\right)=P \left(A\right) \cdot P \left(B\right)$ であるとき、
（i）事象 $A$ と事象 $B$ の余事象
\begin{align}
P \left(A \cap B^c\right)=P \left(A\right) \cdot P \left(B^c\right)
\end{align}
（ii）事象 $A$ の余事象と事象 $B$
\begin{align}
P \left(A^c \cap B\right)=P \left(A^c\right) \cdot P \left(B\right)
\end{align}
（iii）事象 $A$ の余事象と事象 $B$ の余事象
\begin{align}
P \left(A^c \cap B^c\right)=P \left(A^c\right) \cdot P \left(B^c\right)
\end{align}
も互いに独立である。
証明
（i）事象 $A$ と事象 $B$ の余事象 \begin{align} P \left(A \cap B^c\right)&=P \left(A\right)-P \left(A \cap B\right)\\ &=P \left(A\right)-P \left(A\right) \cdot P \left(B\right)\\ &=P \left(A\right) \left\{1-P \left(B\right)\right\} \end{align} 確率の基本性質 $P \left(A^C\right)=1-P \left(A\right)$ より、 \begin{align} P \left(A \cap B^c\right)=P \left(A\right) \cdot P \left(B^c\right) \end{align}
（ii）事象 $A$ の余事象と事象 $B$ \begin{align} P \left(A^c \cap B\right)&=P \left(B\right)-P \left(A \cap B\right)\\ &=P \left(B\right)-P \left(A\right) \cdot P \left(B\right)\\ &=P \left(B\right) \left\{1-P \left(A\right)\right\} \end{align} 確率の基本性質 $P \left(A^C\right)=1-P \left(A\right)$ より、 \begin{align} P \left(A^c \cap B\right)=P \left(A^c\right) \cdot P \left(B\right) \end{align}
（iii）事象 $A$ の余事象と事象 $B$ の余事象
ド・モルガンの法則 $ \left(A \cup B\right)^C=A^C \cap B^C$ より、
\begin{align}
P \left(A^c \cap B^c\right)&=1-P \left(A \cup B\right)\\
&=1-P \left(A\right)-P \left(B\right)+P \left(A \cap B\right)\\
&=1-P \left(A\right)-P \left(B\right)+P \left(A\right) \cdot P \left(B\right)\\
&= \left\{1-P \left(A\right)\right\}-P \left(B\right) \left\{1-P \left(A\right)\right\}\\
&= \left\{1-P \left(A\right)\right\} \left\{1-P \left(B\right)\right\}
\end{align}
確率の基本性質 $P \left(A^C\right)=1-P \left(A\right)$ より、
\begin{align}
P \left(A^c \cap B^c\right)=P \left(A^C\right) \cdot P \left(B^c\right)
\end{align}
$\blacksquare$
参考文献
- 小寺 平治 著. 数理統計：明解演習. 共立出版, 1986, p.11, p.151-152
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.19-20
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