幾何分布の期待値・分散の導出

（i）期待値
期待値の定義式 $E \left(X\right)=\sum_{x=-\infty}^{\infty}{x \cdot f \left(x\right)}$ より、 \begin{align} E \left(X\right)&=\sum_{x=0}^{\infty}{x \cdot \left(1-p\right)^xp}\\ &=p\sum_{x=0}^{\infty}{x \cdot \left(1-p\right)^x} \end{align} 「等差×等比」型の級数の公式 $ \left|r\right| \gt 1\Rightarrow\sum_{x=0}^{\infty}{x \cdot r^x}=\frac{r}{ \left(1-r\right)^2}$ より、 \begin{align} E \left(X\right)&=p \cdot \frac{1-p}{ \left\{1- \left(1-p\right)\right\}^2}\\ &=p \cdot \frac{1-p}{p^2}\\ &=\frac{1-p}{p} \end{align} $\blacksquare$

（ii）分散
2乗の期待値の定義式 $E \left(X^2\right)=\sum_{x=-\infty}^{\infty}{x^2 \cdot f \left(x\right)}$ より、 \begin{align} E \left(X\right)&=\sum_{x=0}^{\infty}{x^2 \cdot \left(1-p\right)^xp}\\ &=p\sum_{x=0}^{\infty}{x^2 \cdot \left(1-p\right)^x} \end{align} 「等差×等比」型の級数の公式 $ \left|r\right| \lt 1\Rightarrow\sum_{x=0}^{\infty}{x^2 \cdot r^x}=\frac{r^2+r}{ \left(1-r\right)^3}$ より、 \begin{align} E \left(X^2\right)&=p \cdot \frac{ \left(1-p\right)^2+ \left(1-p\right)}{ \left\{1- \left(1-p\right)\right\}^3}\\ &=p \cdot \frac{ \left(1-p\right)^2+ \left(1-p\right)}{p^3}\\ &=\frac{ \left(1-p\right)^2+ \left(1-p\right)}{p^2} \end{align} 分散の公式 $V \left(X\right)=E \left(X^2\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、 \begin{align} V \left(X\right)&=\frac{ \left(1-p\right)^2+ \left(1-p\right)}{p^2}-\frac{ \left(1-p\right)^2}{p^2}\\ &=\frac{1-p}{p^2} \end{align} $\blacksquare$

（i）期待値
幾何分布の確率母関数の公式より、 \begin{align} G_X \left(\theta\right)=\frac{p}{1-\theta \left(1-p\right)} \end{align} 確率母関数の1階微分を求めると、商の微分公式と合成関数の微分法より、 \begin{align} G_X^{ \left(1\right)} \left(\theta\right)&=-\frac{p}{ \left\{1-\theta \left(1-p\right)\right\}^2} \cdot \frac{d}{d\theta} \left\{1-\theta \left(1-p\right)\right\}\\ &=-\frac{p}{ \left\{1-\theta \left(1-p\right)\right\}^2} \cdot \left\{- \left(1-p\right)\right\}\\ &=\frac{p \left(1-p\right)}{ \left\{1-\theta \left(1-p\right)\right\}^2} \end{align} 1次モーメントと確率母関数の関係 $G_X^{ \left(1\right)} \left(1\right)=E \left(X\right)$ より、 \begin{align} E \left(X\right)&=\frac{p \left(1-p\right)}{ \left(1-1+p\right)^2}\\ &=\frac{1-p}{p} \end{align} $\blacksquare$

（ii）分散
確率母関数の2階微分を求めると、 \begin{align} G_X^{ \left(2\right)} \left(\theta\right)&=-2 \cdot \frac{p \left(1-p\right)}{ \left\{1-\theta \left(1-p\right)\right\}^3} \cdot \frac{d}{d\theta} \left\{1-\theta \left(1-p\right)\right\}\\ &=-2 \cdot \frac{p \left(1-p\right)}{ \left\{1-\theta \left(1-p\right)\right\}^3} \cdot \left\{- \left(1-p\right)\right\}\\ &=\frac{2p \left(1-p\right)^2}{ \left\{1-\theta \left(1-p\right)\right\}^3} \end{align} 2次階乗モーメントと確率母関数の関係 $G_X^{ \left(2\right)} \left(1\right)=E \left\{X \left(X-1\right)\right\}$ より、 \begin{align} E \left\{X \left(X-1\right)\right\}&=\frac{2p \left(1-p\right)^2}{ \left(1-1+p\right)^3}\\ &=\frac{2 \left(1-p\right)^2}{p^2} \end{align} 階乗モーメントを用いた分散の公式 $V \left(X\right)=E \left\{X \left(X-1\right)\right\}+E \left(X\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、 \begin{align} V \left(X\right)&=\frac{2 \left(1-p\right)^2}{p^2}+\frac{1-p}{p}-\frac{ \left(1-p\right)^2}{p^2}\\ &=\frac{ \left(1-p\right)^2}{p^2}+\frac{1-p}{p}\\ &=\frac{1-p}{p} \left(\frac{1-p}{p}+1\right)\\ &=\frac{1-p}{p} \left(\frac{1-p+p}{p}\right)\\ &=\frac{1-p}{p^2} \end{align} $\blacksquare$

（i）期待値
幾何分布のモーメント母関数の公式より、 \begin{align} M_X \left(\theta\right)=\frac{p}{1-e^\theta \left(1-p\right)} \end{align} モーメント母関数の1階微分を求めると、商の微分公式と合成関数の微分法より、 \begin{align} M_X^{ \left(1\right)} \left(\theta\right)&=-\frac{p}{ \left\{1-e^\theta \left(1-p\right)\right\}^2} \cdot \frac{d}{d\theta} \left\{1-e^\theta \left(1-p\right)\right\}\\ &=-\frac{p}{ \left\{1-e^\theta \left(1-p\right)\right\}^2} \cdot \left\{-e^\theta \left(1-p\right)\right\}\\ &=\frac{e^\theta \cdot p \left(1-p\right)}{ \left\{1-e^\theta \left(1-p\right)\right\}^2} \end{align} 1次モーメントとモーメント母関数の関係 $M_X^{ \left(1\right)} \left(0\right)=E \left(X\right)$ より、 \begin{align} E \left(X\right)&=\frac{e^0 \cdot p \left(1-p\right)}{ \left\{1-e^0 \left(1-p\right)\right\}^2}\\ &=\frac{1-p}{p} \end{align} $\blacksquare$

（ii）分散
モーメント母関数の2階微分を求めると、商の微分公式と合成関数の微分法より、 \begin{align} M_X^{ \left(2\right)} \left(\theta\right)&=e^\theta \cdot \frac{d}{d\theta} \left[\frac{p \left(1-p\right)}{ \left\{1-e^\theta \left(1-p\right)\right\}^2}\right]+\frac{p \left(1-p\right)}{ \left\{1-e^\theta \left(1-p\right)\right\}^2} \cdot \frac{d}{d\theta}e^\theta\\ &=e^\theta \cdot \left\{-2\frac{p \left(1-p\right)}{ \left\{1-e^\theta \left(1-p\right)\right\}^3} \cdot \frac{d}{d\theta} \left\{1-e^\theta \left(1-p\right)\right\}\right\}+\frac{e^\theta \cdot p \left(1-p\right)}{ \left\{1-e^\theta \left(1-p\right)\right\}^2}\\ &=\frac{2e^{2\theta} \cdot p \left(1-p\right)^2}{ \left\{1-e^\theta \left(1-p\right)\right\}^3}+\frac{e^\theta \cdot p \left(1-p\right)}{ \left\{1-e^\theta \left(1-p\right)\right\}^2} \end{align} 2次モーメントとモーメント母関数の関係 $M_X^{ \left(2\right)} \left(0\right)=E \left(X^2\right)$ より、 \begin{align} E \left(X^2\right)&=\frac{2e^0 \cdot p \left(1-p\right)^2}{ \left\{1-e^0 \left(1-p\right)\right\}^3}+\frac{e^0 \cdot p \left(1-p\right)}{ \left\{1-e^0 \left(1-p\right)\right\}^2}\\ &=\frac{2p \left(1-p\right)^2}{p^3}+\frac{p \left(1-p\right)}{p^2}\\ &=\frac{2 \left(1-p\right)^2}{p^2}+\frac{1-p}{p} \end{align} 分散の公式 $V \left(X\right)=E \left(X^2\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、 \begin{align} V \left(X\right)&=\frac{2 \left(1-p\right)^2}{p^2}+\frac{1-p}{p}-\frac{ \left(1-p\right)^2}{p^2}\\ &=\frac{ \left(1-p\right)^2}{p^2}+\frac{1-p}{p}\\ &=\frac{1-p}{p^2} \end{align} $\blacksquare$