対数正規分布の期待値・分散の導出

（i）期待値
期待値の定義式 $E \left(X\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{x \cdot f \left(x\right)dx}$ より、 \begin{align} E \left(X\right)&=\int_{0}^{\infty}{x \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x}e^{-\frac{ \left(\log{x}-\mu\right)^2}{2\sigma^2}}dx}\\ &=\int_{0}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{ \left(\log{x}-\mu\right)^2}{2\sigma^2}}dx} \end{align} ここで、以下のように変数変換すると、 \begin{gather} t=\log{x}\Leftrightarrow x=e^t\\ x:0\rightarrow\infty \quad \Rightarrow \quad t:-\infty\rightarrow\infty\\ \frac{dx}{dt}=e^t\Rightarrow dx=e^tdt \end{gather} となるので、 置換積分法により、 \begin{align} E \left(X\right)&=\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{ \left(t-\mu\right)^2}{2\sigma^2}} \cdot e^tdt}\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{t-\frac{t^2-2t\mu+\mu^2}{2\sigma^2}}dt} \end{align} ここで、指数部分について、変形（平方完成）すると、 \begin{align} t-\frac{t^2-2t\mu+\mu^2}{2\sigma^2}&=-\frac{1}{2\sigma^2} \left(-2\sigma^2t+t^2-2t\mu+\mu^2\right)\\ &=-\frac{1}{2\sigma^2} \left\{t^2-2t \left(\mu+\sigma^2\right)+\mu^2\right\}\\ &=-\frac{1}{2\sigma^2} \left[ \left\{t- \left(\mu+\sigma^2\right)\right\}^2- \left(\mu+\sigma^2\right)^2+\mu^2\right]\\ &=-\frac{1}{2\sigma^2} \left[ \left\{t- \left(\mu+\sigma^2\right)\right\}^2- \left(\mu^2+2\mu\sigma^2+\sigma^4\right)+\mu^2\right]\\ &=-\frac{1}{2\sigma^2} \left[ \left\{t- \left(\mu+\sigma^2\right)\right\}^2- \left(2\mu\sigma^2+\sigma^4\right)\right]\\ &=-\frac{ \left\{t- \left(\mu+\sigma^2\right)\right\}^2}{2\sigma^2}+\mu+\frac{\sigma^2}{2} \end{align} したがって、 \begin{align} E \left(X\right)&=\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{ \left\{t- \left(\mu+\sigma^2\right)\right\}^2}{2\sigma^2}+ \left(\mu+\frac{\sigma^2}{2}\right)}dt}\\ &=e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{ \left\{t- \left(\mu+\sigma^2\right)\right\}^2}{2\sigma^2}}dt} \end{align} ここで、右辺の積分部分は、正規分布 \begin{align} \mathrm{N} \left(\mu+\sigma^2,\sigma^2\right) \end{align} の確率密度関数とみなすことができる。 したがって、確率密度関数の性質より、 \begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{ \left\{t- \left(\mu+\sigma^2\right)\right\}^2}{2\sigma^2}}dt}=1 \end{align} よって、 \begin{align} E \left(X\right)=e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}} \end{align} $\blacksquare$

（ii）分散
2乗の期待値の定義式 $E \left(X^2\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{x^2 \cdot f \left(x\right)dx}$ より、 \begin{align} E \left(X^2\right)&=\int_{0}^{\infty}{x^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x}e^{-\frac{ \left(\log{x}-\mu\right)^2}{2\sigma^2}}dx}\\ &=\int_{0}^{\infty}{x \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{ \left(\log{x}-\mu\right)^2}{2\sigma^2}}dx} \end{align} ここで、（i）と同様の変数変換を行うと、置換積分法により、 \begin{align} E \left(X^2\right)&=\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^t \cdot e^{-\frac{ \left(t-\mu\right)^2}{2\sigma^2}} \cdot e^tdt}\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{2t-\frac{ \left(t-\mu\right)^2}{2\sigma^2}}dt} \end{align} ここで、指数部分について、変形（平方完成）すると、 \begin{align} 2t-\frac{ \left(t-\mu\right)^2}{2\sigma^2}&=-\frac{1}{2\sigma^2} \left(t^2-2\mu t-4\sigma^2t+\mu^2\right)\\ &=-\frac{1}{2\sigma^2} \left\{t^2-2 \left(\mu+2\sigma^2\right)t+\mu^2\right\}\\ &=-\frac{1}{2\sigma^2} \left[ \left\{t- \left(\mu+2\sigma^2\right)\right\}^2- \left(\mu+2\sigma^2\right)^2+\mu^2\right]\\ &=-\frac{1}{2\sigma^2} \left[ \left\{t- \left(\mu+2\sigma^2\right)\right\}^2- \left(\mu^2+4\mu\sigma^2+4\sigma^4\right)+\mu^2\right]\\ &=-\frac{1}{2\sigma^2} \left[ \left\{t- \left(\mu+{2\sigma}^2\right)\right\}^2- \left(4\mu\sigma^2+4\sigma^4\right)\right]\\ &=-\frac{ \left\{t- \left(\mu+2\sigma^2\right)\right\}^2}{2\sigma^2}+ \left(2\mu+{2\sigma}^2\right) \end{align} したがって、 \begin{align} E \left(X^2\right)=e^{2\mu+2\sigma^2}\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{ \left\{t- \left(\mu+2\sigma^2\right)\right\}^2}{2\sigma^2}}dt} \end{align} ここで、右辺の積分部分は、正規分布 \begin{align} \mathrm{N} \left(\mu+2\sigma^2,\sigma^2\right) \end{align} の確率密度関数とみなすことができる。 したがって、確率密度関数の性質より、 \begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{ \left\{t- \left(\mu+2\sigma^2\right)\right\}^2}{2\sigma^2}}dt}=1 \end{align} よって、 \begin{align} E \left(X^2\right)=e^{2\mu+2\sigma^2} \end{align} 分散の公式 $V \left(X\right)=E \left(X^2\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、 \begin{align} V \left(X\right)&=e^{2\mu+2\sigma^2}- \left(e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}\right)^2\\ &=e^{2\mu+2\sigma^2}-e^{2\mu+\sigma^2}\\ &=e^{2\mu+\sigma^2} \left(e^{\sigma^2}-1\right) \end{align} $\blacksquare$

正規分布のモーメント母関数の公式より、 \begin{align} M_Y \left(\theta\right)=e^{\mu\theta+\frac{1}{2}\sigma^2\theta^2}\tag{1} \end{align} モーメント母関数の定義式 $M_Y \left(\theta\right)=E \left(e^{Y\theta}\right)$ より、 \begin{align} E \left(e^{Y\theta}\right)&=E \left[ \left(e^Y\right)^\theta\right]\\ &=E \left(X^\theta\right) \end{align} （i）期待値
式 $(1)$ に $\theta=1$ を代入すると、 \begin{align} E \left(X\right)=e^{\mu+\frac{1}{2}\sigma^2} \end{align} （ii）分散
式 $(1)$ に $\theta=2$ を代入すると、 \begin{align} E \left(X^2\right)=e^{2\mu+\sigma^2} \end{align} 分散の公式 $V \left(X\right)=E \left(X^2\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、 \begin{align} V \left(X\right)&=e^{2\mu+2\sigma^2}- \left(e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}\right)^2\\ &=e^{2\mu+2\sigma^2}-e^{2\mu+\sigma^2}\\ &=e^{2\mu+\sigma^2} \left(e^{\sigma^2}-1\right) \end{align} $\blacksquare$