対数正規分布の期待値・分散の導出

（i）期待値
期待値の定義式 $E\left(X\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)dx$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma x}{e}^{-\frac{{(\log x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}dx\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{{(\log x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}dx\end{array}$$ ここで、以下のように変数変換すると、 $$\begin{array}{c}t=\log x\iff x=e^t\\ x:0\to \mathrm{\infty }\Rightarrow t:-\mathrm{\infty }\to \mathrm{\infty }\\ \frac{dx}{dt}=e^t\Rightarrow dx=e^{t}dt\end{array}$$ となるので、 置換積分法により、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{{(t-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}\cdot e^{t}dt\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{t-\frac{t^2-2t\mu +{\mu }^2}{2{\sigma }^2}}dt\end{array}$$ ここで、指数部分について、変形（平方完成）すると、 $$\begin{array}{rl}t-\frac{t^2-2t\mu +{\mu }^2}{2{\sigma }^2}& =-\frac{1}{2{\sigma }^2}(-2{\sigma }^{2}t+t^2-2t\mu +{\mu }^2)\\ & =-\frac{1}{2{\sigma }^2}\{t^2-2t(\mu +{\sigma }^2)+{\mu }^2\}\\ & =-\frac{1}{2{\sigma }^2}[{\{t-(\mu +{\sigma }^2)\}}^2-{(\mu +{\sigma }^2)}^2+{\mu }^2]\\ & =-\frac{1}{2{\sigma }^2}[{\{t-(\mu +{\sigma }^2)\}}^2-({\mu }^2+2\mu {\sigma }^2+{\sigma }^4)+{\mu }^2]\\ & =-\frac{1}{2{\sigma }^2}[{\{t-(\mu +{\sigma }^2)\}}^2-(2\mu {\sigma }^2+{\sigma }^4)]\\ & =-\frac{{\{t-(\mu +{\sigma }^2)\}}^2}{2{\sigma }^2}+\mu +\frac{{\sigma }^2}{2}\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{{\{t-(\mu +{\sigma }^2)\}}^2}{2{\sigma }^2}+(\mu +\frac{{\sigma }^2}{2})}dt\\ & =e^{\mu +\frac{{\sigma }^2}{2}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{{\{t-(\mu +{\sigma }^2)\}}^2}{2{\sigma }^2}}dt\end{array}$$ ここで、右辺の積分部分は、正規分布 $$\begin{array}{r}\mathrm{N}(\mu +{\sigma }^2,{\sigma }^2)\end{array}$$ の確率密度関数とみなすことができる。 したがって、確率密度関数の性質より、 $$\begin{array}{r}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{{\{t-(\mu +{\sigma }^2)\}}^2}{2{\sigma }^2}}dt=1\end{array}$$ よって、 $$\begin{array}{r}E\left(X\right)=e^{\mu +\frac{{\sigma }^2}{2}}\end{array}$$ $◼$

（ii）分散
2乗の期待値の定義式 $E\left(X^2\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^2\cdot f\left(x\right)dx$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X^2\right)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^2\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma x}{e}^{-\frac{{(\log x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}dx\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{{(\log x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}dx\end{array}$$ ここで、（i）と同様の変数変換を行うと、置換積分法により、 $$\begin{array}{rl}E\left(X^2\right)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^t\cdot e^{-\frac{{(t-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}\cdot e^{t}dt\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{2t-\frac{{(t-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}dt\end{array}$$ ここで、指数部分について、変形（平方完成）すると、 $$\begin{array}{rl}2t-\frac{{(t-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}& =-\frac{1}{2{\sigma }^2}(t^2-2\mu t-4{\sigma }^{2}t+{\mu }^2)\\ & =-\frac{1}{2{\sigma }^2}\{t^2-2(\mu +2{\sigma }^2)t+{\mu }^2\}\\ & =-\frac{1}{2{\sigma }^2}[{\{t-(\mu +2{\sigma }^2)\}}^2-{(\mu +2{\sigma }^2)}^2+{\mu }^2]\\ & =-\frac{1}{2{\sigma }^2}[{\{t-(\mu +2{\sigma }^2)\}}^2-({\mu }^2+4\mu {\sigma }^2+4{\sigma }^4)+{\mu }^2]\\ & =-\frac{1}{2{\sigma }^2}[{\{t-(\mu +{2\sigma }^2)\}}^2-(4\mu {\sigma }^2+4{\sigma }^4)]\\ & =-\frac{{\{t-(\mu +2{\sigma }^2)\}}^2}{2{\sigma }^2}+(2\mu +{2\sigma }^2)\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}E\left(X^2\right)=e^{2\mu +2{\sigma }^2}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{{\{t-(\mu +2{\sigma }^2)\}}^2}{2{\sigma }^2}}dt\end{array}$$ ここで、右辺の積分部分は、正規分布 $$\begin{array}{r}\mathrm{N}(\mu +2{\sigma }^2,{\sigma }^2)\end{array}$$ の確率密度関数とみなすことができる。 したがって、確率密度関数の性質より、 $$\begin{array}{r}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{{\{t-(\mu +2{\sigma }^2)\}}^2}{2{\sigma }^2}}dt=1\end{array}$$ よって、 $$\begin{array}{r}E\left(X^2\right)=e^{2\mu +2{\sigma }^2}\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(X\right)& =e^{2\mu +2{\sigma }^2}-{\left(e^{\mu +\frac{{\sigma }^2}{2}}\right)}^2\\ & =e^{2\mu +2{\sigma }^2}-e^{2\mu +{\sigma }^2}\\ & =e^{2\mu +{\sigma }^2}(e^{{\sigma }^2}-1)\end{array}$$ $◼$

正規分布のモーメント母関数の公式より、 $$\begin{array}{}\text{(1)}& M_Y\left(\theta \right)=e^{\mu \theta +\frac{1}{2}{\sigma }^2{\theta }^2}\end{array}$$ モーメント母関数の定義式 $M_Y\left(\theta \right)=E\left(e^{Y\theta }\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(e^{Y\theta }\right)& =E\left[{\left(e^Y\right)}^{\theta }\right]\\ & =E\left(X^{\theta }\right)\end{array}$$ （i）期待値
式 $(1)$ に $\theta =1$ を代入すると、 $$\begin{array}{r}E\left(X\right)=e^{\mu +\frac{1}{2}{\sigma }^2}\end{array}$$ （ii）分散
式 $(1)$ に $\theta =2$ を代入すると、 $$\begin{array}{r}E\left(X^2\right)=e^{2\mu +{\sigma }^2}\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(X\right)& =e^{2\mu +2{\sigma }^2}-{\left(e^{\mu +\frac{{\sigma }^2}{2}}\right)}^2\\ & =e^{2\mu +2{\sigma }^2}-e^{2\mu +{\sigma }^2}\\ & =e^{2\mu +{\sigma }^2}(e^{{\sigma }^2}-1)\end{array}$$ $◼$