指数分布のモーメント母関数の導出

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【2023年3月5週】 【B000】数理統計学 【B040】連続型の確率分布

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本稿では、定義に沿った方法で指数分布のモーメント母関数を導出しています。

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【公式】指数分布のモーメント母関数

【公式】
指数分布のモーメント母関数
Moment-Generating Function of Exponential Distribution

指数分布 $\mathrm{Ex} \left(\lambda\right)$ のモーメント母関数 $M_X \left(\theta\right)$ は、 \begin{align} M_X \left(\theta\right)=\frac{\lambda}{\lambda-\theta} \end{align} で与えられる。

導出

導出

モーメント母関数の定義式 $M_X \left(\theta\right)=\int_{x=-\infty}^{\infty}{e^{\theta x} \cdot f \left(x\right)dx}$ より、 \begin{align} M_X \left(\theta\right)&=\int_{-\infty}^{0}{e^{\theta x} \cdot 0 \cdot d x}+\int_{0}^{\infty}{e^{\theta x} \cdot \lambda e^{-\lambda x}dx}\\ &=\lambda\int_{0}^{\infty}{e^{\theta x-\lambda x}dx}\\ &=\lambda\int_{0}^{\infty}{e^{- \left(\lambda-\theta\right)x}dx}\\ &=-\lambda \cdot \frac{1}{\lambda-\theta} \left[e^{- \left(\lambda-\theta\right)x}\right]_0^\infty\\ &=-\lambda \cdot \frac{1}{\lambda-\theta} \left(\lim_{x\rightarrow\infty}{e^{- \left(\lambda-\theta\right)x}}-e^{-0}\right)\\ &=\frac{\lambda}{\lambda-\theta} \end{align} $\blacksquare$

参考文献

  • 稲垣 宣生 著. 数理統計学. 裳華房, 2003, p.42

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大学時代に読書の面白さに気づいて以来、読書や勉強を通じて、興味をもったことや新しいことを学ぶことが生きる原動力。そんな人間が、その時々に学んだことを備忘録兼人生の軌跡として記録しているブログです。

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