本稿では、定義に沿った方法で指数分布のモーメント母関数を導出しています。
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【公式】指数分布のモーメント母関数
【公式】
指数分布のモーメント母関数
Moment-Generating Function of Exponential Distribution
指数分布 $\mathrm{Ex} \left(\lambda\right)$ のモーメント母関数 $M_X \left(\theta\right)$ は、 \begin{align} M_X \left(\theta\right)=\frac{\lambda}{\lambda-\theta} \end{align} で与えられる。
導出
モーメント母関数の定義式 $M_X \left(\theta\right)=\int_{x=-\infty}^{\infty}{e^{\theta x} \cdot f \left(x\right)dx}$ より、 \begin{align} M_X \left(\theta\right)&=\int_{-\infty}^{0}{e^{\theta x} \cdot 0 \cdot d x}+\int_{0}^{\infty}{e^{\theta x} \cdot \lambda e^{-\lambda x}dx}\\ &=\lambda\int_{0}^{\infty}{e^{\theta x-\lambda x}dx}\\ &=\lambda\int_{0}^{\infty}{e^{- \left(\lambda-\theta\right)x}dx}\\ &=-\lambda \cdot \frac{1}{\lambda-\theta} \left[e^{- \left(\lambda-\theta\right)x}\right]_0^\infty\\ &=-\lambda \cdot \frac{1}{\lambda-\theta} \left(\lim_{x\rightarrow\infty}{e^{- \left(\lambda-\theta\right)x}}-e^{-0}\right)\\ &=\frac{\lambda}{\lambda-\theta} \end{align} $\blacksquare$
参考文献
- 稲垣 宣生 著. 数理統計学. 裳華房, 2003, p.42
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