超幾何分布の共分散の導出

ここでは、箱の中に黒いボールが $k$ 個、赤いボールが $N-k$ 個入っているとし、取り出したボールが「黒」ならば、「成功」、すなわち $$\begin{array}{r}{X}_i=1\end{array}$$ とする。

（I）$i$ 番目の成功確率
抽出したボールを、取り出した順に1列に並べていくとき、$N$ 個の中から $n$ 個を選んで並べる場合の数は、 $$\begin{array}{r}{}_N{P}_n\end{array}$$ 通りある。 $i$ 番目を成功とするためには、 まず最初に、$i$ 番目に黒いボールを配置し、
それから残りの $n-1$ 個を自由に並べればよい。 このような並べ方は、 $i$ 番目の黒いボールの選び方が $k$ 通り
残りの $n-1$ 個の並べ方が ${}_{N-1}{P}_{n-1}$ 通り なので、 全部で $$\begin{array}{r}k\cdot {}_{N-1}{P}_{n-1}\end{array}$$ 通りある。 したがって、$i$ 番目の成功確率は、 $$\begin{array}{rl}P(X_i=1)& =\frac{k\cdot {}_{N-1}{P}_{n-1}}{{}_N{P}_n}\\ & =k\cdot \frac{(N-1)!}{\{(N-1)-(n-1)\}!}\cdot \frac{(N-n)!}{N!}\\ & =k\cdot \frac{(N-1)!}{(N-n)!}\cdot \frac{(N-n)!}{N!}\\ & =\frac{k}{N}\end{array}$$ $◼$

（II）$i,j$ 番目の同時成功確率
$i$ 番目と $j$ 番目を成功とするためには、 まず最初に、$i$ 番目と $j$ 番目に黒いボールを配置し、
それから残りの $n-2$ 個を自由に並べればよい。 このような並べ方は、 $i$ 番目の黒いボールの選び方が $k$ 通り
$j$ 番目の黒いボールの選び方が $k-1$ 通り
残りの $n-2$ 個の並べ方が ${}_{N-2}{P}_{n-2}$ 通り なので、 全部で $$\begin{array}{r}k(k-1)\cdot {}_{N-2}{P}_{n-2}\end{array}$$ 通りある。 したがって、$i$ 番目と $j$ 番目の同時成功確率は、 $$\begin{array}{rl}P(X_i=1,X_j=1)& =\frac{k(k-1)\cdot {}_{N-2}{P}_{n-2}}{{}_N{P}_n}\\ & =k(k-1)\cdot \frac{(N-2)!}{\{(N-2)-(n-2)\}!}\cdot \frac{(N-n)!}{N!}\\ & =k\cdot \frac{(N-2)!}{(N-n)!}\cdot \frac{(N-n)!}{N!}\\ & =\frac{k(k-1)}{N(N-1)}\end{array}$$ $◼$

（III）抽出結果の共分散
期待値の定義式 $E\left(X\right)=\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)$ より、$i$ 番目の抽出結果の期待値は、 $$\begin{array}{rl}E\left(X_i\right)& =1\cdot P(X_i=1)+0\cdot P(X_i=0)\\ & =\frac{k}{N}\end{array}$$ 期待値の定義式 $E\left(XY\right)=\sum _{y=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}xy\cdot f(x,y)$ より、$i,j$ 番目の抽出結果の積の期待値は、 $$\begin{array}{rl}E\left(X_i{X}_j\right)=& 1\cdot 1\cdot P(X_i=1,X_j=1)+1\cdot 0\cdot P(X_i=1,X_j=0)\\ & +0\cdot 1\cdot P(X_i=0,X_j=1)+0\cdot 0\cdot P(X_i=0,X_j=0)\\ =& \frac{k(k-1)}{N(N-1)}\end{array}$$ 共分散の公式 $\mathrm{Cov}(X,Y)=E\left(XY\right)-E\left(X\right)E\left(Y\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}\mathrm{Cov}(X,Y)& =\frac{k(k-1)}{N(N-1)}-\frac{k}{N}\cdot \frac{k}{N}\\ & =\frac{k}{N}(\frac{k-1}{N-1}-\frac{k}{N})\\ & =\frac{k}{N}\cdot \frac{N(k-1)-(N-1)k}{N(N-1)}\\ & =\frac{k}{N}\cdot \frac{Nk-N-Nk+k}{N(N-1)}\\ & =-\frac{k(N-k)}{N^2(N-1)}\end{array}$$ $◼$

（IV）それぞれの試行結果の分散
期待値の定義式 $E\left(X^2\right)=\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^2\cdot f\left(x\right)$ より $$\begin{array}{rl}E\left(X_i^2\right)& =1^2\cdot P(X_i=1)+0^2\cdot P(X_i=0)\\ & =\frac{k}{N}\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(X_i\right)& =\frac{k}{N}-\frac{k^2}{N^2}\\ & =\frac{k}{N}(1-\frac{k}{N})\\ & =\frac{k}{N}\cdot \frac{N-k}{N}\end{array}$$ $◼$