超幾何分布の共分散の導出

ここでは、箱の中に黒いボールが $k$ 個、赤いボールが $N-k$ 個入っているとし、取り出したボールが「黒」ならば、「成功」、すなわち \begin{align} X_i=1 \end{align} とする。

（I）$i$ 番目の成功確率
抽出したボールを、取り出した順に1列に並べていくとき、$N$ 個の中から $n$ 個を選んで並べる場合の数は、 \begin{align} {}_{N}P_n \end{align} 通りある。 $i$ 番目を成功とするためには、 まず最初に、$i$ 番目に黒いボールを配置し、
それから残りの $n-1$ 個を自由に並べればよい。 このような並べ方は、 $i$ 番目の黒いボールの選び方が $k$ 通り
残りの $n-1$ 個の並べ方が ${}_{N-1}P_{n-1}$ 通り なので、 全部で \begin{align} k \cdot {}_{N-1}P_{n-1} \end{align} 通りある。 したがって、$i$ 番目の成功確率は、 \begin{align} P \left(X_i=1\right)&=\frac{k \cdot {}_{N-1}P_{n-1}}{{}_{N}P_n}\\ &=k \cdot \frac{ \left(N-1\right)!}{ \left\{ \left(N-1\right)- \left(n-1\right)\right\}!} \cdot \frac{ \left(N-n\right)!}{N!}\\ &=k \cdot \frac{ \left(N-1\right)!}{ \left(N-n\right)!} \cdot \frac{ \left(N-n\right)!}{N!}\\ &=\frac{k}{N} \end{align} $\blacksquare$

（II）$i,j$ 番目の同時成功確率
$i$ 番目と $j$ 番目を成功とするためには、 まず最初に、$i$ 番目と $j$ 番目に黒いボールを配置し、
それから残りの $n-2$ 個を自由に並べればよい。 このような並べ方は、 $i$ 番目の黒いボールの選び方が $k$ 通り
$j$ 番目の黒いボールの選び方が $k-1$ 通り
残りの $n-2$ 個の並べ方が ${}_{N-2}P_{n-2}$ 通り なので、 全部で \begin{align} k \left(k-1\right) \cdot {}_{N-2}P_{n-2} \end{align} 通りある。 したがって、$i$ 番目と $j$ 番目の同時成功確率は、 \begin{align} P \left(X_i=1,X_j=1\right)&=\frac{k \left(k-1\right) \cdot {}_{N-2}P_{n-2}}{{}_{N}P_n}\\ &=k \left(k-1\right) \cdot \frac{ \left(N-2\right)!}{ \left\{ \left(N-2\right)- \left(n-2\right)\right\}!} \cdot \frac{ \left(N-n\right)!}{N!}\\ &=k \cdot \frac{ \left(N-2\right)!}{ \left(N-n\right)!} \cdot \frac{ \left(N-n\right)!}{N!}\\ &=\frac{k \left(k-1\right)}{N \left(N-1\right)} \end{align} $\blacksquare$

（III）抽出結果の共分散
期待値の定義式 $E \left(X\right)=\sum_{-\infty}^{\infty}{x \cdot f \left(x\right)}$ より、$i$ 番目の抽出結果の期待値は、 \begin{align} E \left(X_i\right)&=1 \cdot P \left(X_i=1\right)+0 \cdot P \left(X_i=0\right)\\ &=\frac{k}{N} \end{align} 期待値の定義式 $E \left(XY\right)=\sum_{y=-\infty}^{\infty}\sum_{x=-\infty}^{\infty}{xy \cdot f \left(x,y\right)}$ より、$i,j$ 番目の抽出結果の積の期待値は、 \begin{align} E \left(X_iX_j\right)=&1 \cdot 1 \cdot P \left(X_i=1,X_j=1\right)+1 \cdot 0 \cdot P \left(X_i=1,X_j=0\right)\\ &+0 \cdot 1 \cdot P \left(X_i=0,X_j=1\right)+0 \cdot 0 \cdot P \left(X_i=0,X_j=0\right)\\ =&\frac{k \left(k-1\right)}{N \left(N-1\right)} \end{align} 共分散の公式 $\mathrm{Cov} \left(X,Y\right)=E \left(XY\right)-E \left(X\right)E \left(Y\right)$ より、 \begin{align} \mathrm{Cov} \left(X,Y\right)&=\frac{k \left(k-1\right)}{N \left(N-1\right)}-\frac{k}{N} \cdot \frac{k}{N}\\ &=\frac{k}{N} \left(\frac{k-1}{N-1}-\frac{k}{N}\right)\\ &=\frac{k}{N} \cdot \frac{N \left(k-1\right)- \left(N-1\right)k}{N \left(N-1\right)}\\ &=\frac{k}{N} \cdot \frac{Nk-N-Nk+k}{N \left(N-1\right)}\\ &=-\frac{k \left(N-k\right)}{N^2 \left(N-1\right)} \end{align} $\blacksquare$

（IV）それぞれの試行結果の分散
期待値の定義式 $E \left(X^2\right)=\sum_{-\infty}^{\infty}{x^2 \cdot f \left(x\right)}$ より \begin{align} E \left(X_i^2\right)&=1^2 \cdot P \left(X_i=1\right)+0^2 \cdot P \left(X_i=0\right)\\ &=\frac{k}{N} \end{align} 分散の公式 $V \left(X\right)=E \left(X^2\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、 \begin{align} V \left(X_i\right)&=\frac{k}{N}-\frac{k^2}{N^2}\\ &=\frac{k}{N} \left(1-\frac{k}{N}\right)\\ &=\frac{k}{N} \cdot \frac{N-k}{N} \end{align} $\blacksquare$