互いに独立な指数分布の比の分布の導出

確率変数の独立性の定義 $f \left(x,y\right)=g \left(x\right) \cdot h \left(y\right)$ より、同時確率密度関数は、 \begin{align} f \left(x,y\right)&=\lambda e^{-\lambda x} \cdot \lambda e^{-\lambda y}\\ &=\lambda^2e^{-\lambda \left(x+y\right)} \end{align} ここで、以下のように変数変換を行うと、 \begin{align} \left\{\begin{matrix}u=\frac{x}{x+y}\\v=x+y\\\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u=x=uv\\y=v-uv\\\end{matrix}\right. \end{align} 変数変換のヤコビアンは、 \begin{align} \left|J\right|&= \left|\begin{matrix}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial u}\\\frac{\partial x}{\partial v}&\frac{\partial y}{\partial v}\\\end{matrix}\right|\\ &= \left|\begin{matrix}v&-v\\u&1-u\\\end{matrix}\right|\\ &= \left|v \left(1-u\right)+uv\right|\\ &=v \end{align} 変数変換後の同時確率密度関数の公式 $k \left(u,v\right)=f \left\{x \left(u,v\right),y \left(u,v\right)\right\} \left|J\right|$ より、 \begin{align} g \left(u,v\right)&=f \left(uv,v-uv\right) \cdot v\\ &=\lambda^2e^{-\lambda v} \cdot v \end{align} 確率変数 $U$ の周辺確率密度関数を求めると、 \begin{align} h \left(u\right)&=\int_{0}^{\infty}{\lambda^2 \cdot v e^{-\lambda v}dv}\\ &=\lambda\int_{0}^{\infty}{\lambda v \cdot e^{-\lambda v}dv} \end{align} 部分積分法により、 \begin{align} \int_{0}^{\infty}{\lambda v \cdot e^{-\lambda v}dv}&= \left[-\lambda v \cdot e^{-\lambda v}\right]_0^\infty-\int_{0}^{\infty}{-e^{-\lambda v}dv}\\ &=-\lim_{x\rightarrow\infty}{v \cdot e^{-\lambda v}}+\int_{0}^{\infty}{e^{-\lambda v}dv} \end{align} ロピタルの定理より、 \begin{align} \lim_{x\rightarrow\infty}{xe^{-\lambda x}}=\lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{x}{e^{\lambda x}}}=\lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{1}{\lambda e^{\lambda x}}}=0 \end{align} したがって、 \begin{align} \int_{0}^{\infty}{\lambda v \cdot e^{-\lambda v}dv}&=\int_{0}^{\infty}{e^{-\lambda x}dx}\\ &= \left[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}\right]_0^\infty\\ &=-\frac{1}{\lambda} \left(\lim_{x\rightarrow\infty}{e^{-\lambda x}}-e^0\right)\\ &=\frac{1}{\lambda} \end{align} したがって、 \begin{align} h \left(u\right)=\lambda \cdot \frac{1}{\lambda}=1 \end{align} これは、連続一様分布 \begin{align} U \left(0,1\right) \end{align} の確率密度関数なので、 確率密度関数の一意性から、確率変数 $U$ は連続一様分布に従う。 $\blacksquare$