互いに独立な指数分布の比の分布の導出

確率変数の独立性の定義 $f(x,y)=g\left(x\right)\cdot h\left(y\right)$ より、同時確率密度関数は、 $$\begin{array}{rl}f(x,y)& =\lambda e^{-\lambda x}\cdot \lambda e^{-\lambda y}\\ & ={\lambda }^2{e}^{-\lambda (x+y)}\end{array}$$ ここで、以下のように変数変換を行うと、 $$\begin{array}{r}\{\begin{array}{c}u=\frac{x}{x+y}\\ v=x+y\end{array}\iff \{\begin{array}{c}u=x=uv\\ y=v-uv\end{array}\end{array}$$ 変数変換のヤコビアンは、 $$\begin{array}{rl}\left|J\right|& =\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial u}\\ \frac{\partial x}{\partial v}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{cc}v& -v\\ u& 1-u\end{array}\right|\\ & =|v(1-u)+uv|\\ & =v\end{array}$$ 変数変換後の同時確率密度関数の公式 $k(u,v)=f\{x(u,v),y(u,v)\}\left|J\right|$ より、 $$\begin{array}{rl}g(u,v)& =f(uv,v-uv)\cdot v\\ & ={\lambda }^2{e}^{-\lambda v}\cdot v\end{array}$$ 確率変数 $U$ の周辺確率密度関数を求めると、 $$\begin{array}{rl}h\left(u\right)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\lambda }^2\cdot v{e}^{-\lambda v}dv\\ & =\lambda {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\lambda v\cdot e^{-\lambda v}dv\end{array}$$ 部分積分法により、 $$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\lambda v\cdot e^{-\lambda v}dv& ={[-\lambda v\cdot e^{-\lambda v}]}_0^{\mathrm{\infty }}-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}-e^{-\lambda v}dv\\ & =-\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}v\cdot e^{-\lambda v}+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\lambda v}dv\end{array}$$ ロピタルの定理より、 $$\begin{array}{r}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}x{e}^{-\lambda x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{e^{\lambda x}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\lambda e^{\lambda x}}=0\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\lambda v\cdot e^{-\lambda v}dv& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\lambda x}dx\\ & ={[-\frac{1}{\lambda }{e}^{-\lambda x}]}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =-\frac{1}{\lambda }(\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{-\lambda x}-e^0)\\ & =\frac{1}{\lambda }\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}h\left(u\right)=\lambda \cdot \frac{1}{\lambda }=1\end{array}$$ これは、連続一様分布 $$\begin{array}{r}U(0,1)\end{array}$$ の確率密度関数なので、 確率密度関数の一意性から、確率変数 $U$ は連続一様分布に従う。 $◼$