離散型一様分布の定義と概要

本稿では、離散型一様分布の定義と概要についてまとめています。確率関数であることの証明、累積分布関数の導出、確率関数、期待値・分散、確率母関数、モーメント母関数の紹介が含まれます。

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離散一様分布

定義・意味

標本空間 $\mathrm{\Omega }$ が $n$ 個の数 $$\begin{array}{r}{k}_1,k_2,\cdots ,k_n\end{array}$$ から成り、 それぞれが同様の確からしさで選ばれるとき、 無作為に選ばれた数 $X$ が従う 離散型確率分布を離散一様分布 discrete uniform distribution と呼ぶ。 通常、$X$ が取り得る値は整数であることが多い。

確率関数

$X$ が整数値のみを取り、その下限値を $a$、上限値を $b$ とし、 $$\begin{array}{r}\mathrm{\Omega }=\{a,a+1,\cdots b-1,b\}\end{array}$$ であるとすると、 確率関数 $f\left(x\right)$ は、 $$\begin{array}{r}f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{b-a+1}}& a\le x\le b\\ 0& \mathrm{other}\end{array}\end{array}$$ ただし、$n=b-a+1$ で与えられる。 特に、$a=1,b=n$ のときは、 $$\begin{array}{r}f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{n}}& 1\le x\le n\\ 0& \mathrm{other}\end{array}\end{array}$$

略記法

また、離散一様分布は、 $$\begin{array}{r}\begin{array}{cc}\mathrm{DU}(a,b)& (a\le x\le b)\\ \mathrm{DU}\left(n\right)& (1\le x\le n)\end{array}\end{array}$$ などと略記されることがある。

 

確率関数であることの証明

 

【公式】離散一様分布の累積分布関数

 

導出

 

重要事項のまとめ

略記法

$$\begin{array}{r}\begin{array}{cc}\mathrm{DU}(a,b)& (a\le x\le b)\\ \mathrm{DU}\left(n\right)& (1\le x\le n)\end{array}\end{array}$$

パラメータ

$$\begin{array}{c}a=\{\cdots ,-1,0,1,\cdots \}\\ b=\{\cdots ,-1,0,1,\cdots \}\end{array}$$ ただし、$n=b-a+1$

確率関数

$$\begin{array}{r}f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{n}}& a\le x\le b\\ 0& \mathrm{other}\end{array}\end{array}$$

累積分布関数

$$\begin{array}{r}F\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}0& x<a\\ {\displaystyle \frac{\lfloor x\rfloor -a+1}{n}}& a\le x\le b\\ 1& b<x\end{array}\end{array}$$

期待値

$$\begin{array}{r}E\left(X\right)=\frac{a+b}{2}\end{array}$$

分散

$$\begin{array}{r}V\left(X\right)=\frac{n^2-1}{12}\end{array}$$

確率母関数

$$\begin{array}{r}{G}_X\left(\theta \right)=\frac{1}{n}\cdot \frac{1-{\theta }^n}{1-\theta }\end{array}$$

モーメント母関数

$$\begin{array}{r}{M}_X\left(\theta \right)=\frac{e^{\theta }}{n}\cdot \frac{1-e^{n\theta }}{1-e^{\theta }}\end{array}$$

 

参考文献

• 稲垣 宣生 著. 数理統計学. 裳華房, 2003, p.26
• 久保川 達也 著, 新井 仁之, 小林 俊行, 斎藤 毅, 吉田 朋広 編. 現代数理統計学の基礎. 共立出版, 2017, p.29-30

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