2次元確率変数の差の確率密度関数の導出

次のような変数変換を行うと、 $$\begin{array}{r}\{\begin{array}{c}t=x-y\\ w=y\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}x=t+w\\ y=w\end{array}\end{array}$$ 変数変換のヤコビアンは、 $$\begin{array}{rl}J& =\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial t}& \frac{\partial y}{\partial t}\\ \frac{\partial x}{\partial w}& \frac{\partial y}{\partial w}\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right|\\ & =\left|1\right|\\ & =1\end{array}$$ このとき、$t,w$ の同時確率密度関数 $g(t,w)=f\{x(w,t),y(w,t)\}\left|J\right|$ は、 $$\begin{array}{r}g(t,w)=f(t+w,w)\end{array}$$ よって、周辺確率密度関数の定義式 $f\left(x\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dy$ より、$T$ の周辺確率密度関数は、 $$\begin{array}{r}g\left(t\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t+w,w)dw={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t+y,y)dy\end{array}$$ $◼$