2次元確率変数の差の確率密度関数の導出

次のような変数変換を行うと、 \begin{align} \left\{\begin{matrix}t=x-y\\w=y\\\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=t+w\\y=w\\\end{matrix}\right. \end{align} 変数変換のヤコビアンは、 \begin{align} J&= \left|\begin{matrix}\frac{\partial x}{\partial t}&\frac{\partial y}{\partial t}\\\frac{\partial x}{\partial w}&\frac{\partial y}{\partial w}\\\end{matrix}\right|\\ &= \left|\begin{matrix}1&0\\1&1\\\end{matrix}\right|\\ &= \left|1\right|\\ &=1 \end{align} このとき、$t,w$ の同時確率密度関数 $g \left(t,w\right)=f \left\{x \left(w,t\right),y \left(w,t\right)\right\} \left|J\right|$ は、 \begin{align} g \left(t,w\right)=f \left(t+w,w\right) \end{align} よって、周辺確率密度関数の定義式 $f \left(x\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f \left(x,y\right)dy$ より、$T$ の周辺確率密度関数は、 \begin{align} g \left(t\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f \left(t+w,w\right)dw=\int_{-\infty}^{\infty}f \left(t+y,y\right)dy \end{align} $\blacksquare$