本稿では、2次元確率変数の積の確率密度関数の公式を導出しています。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
【公式】2次元確率変数の積の確率密度関数
【公式】
2次元確率変数の積の確率密度関数
Probability Density Function of Product of Random Variables
連続型確率変数 $X,Y$ の同時確率密度関数を \begin{gather} f \left(x,y\right) \end{gather} とするとき、 \begin{gather} U=XY \end{gather} の確率密度関数は、 \begin{align} g \left(u\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{f \left(x,\frac{u}{x}\right)\frac{1}{ \left|x\right|}}dx \end{align} で与えられる。
導出
次のような変数変換を行うと、 \begin{align} \left\{\begin{matrix}w=x\\u=xy\\\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=w\\y=\frac{u}{w}\\\end{matrix}\right. \end{align} 変数変換のヤコビアンは、 \begin{align} J&= \left|\begin{matrix}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial u}\\\frac{\partial x}{\partial w}&\frac{\partial y}{\partial w}\\\end{matrix}\right|\\ &= \left|\begin{matrix}0&\frac{1}{w}\\1&-\frac{1}{w^2}\\\end{matrix}\right|\\ &=-\frac{1}{w}\\ \end{align} このとき、$w,u$ の同時確率密度関数 $g \left(w,u\right)=f \left\{x \left(w,u\right),y \left(w,u\right)\right\} \left|J\right|$ は、 \begin{align} g \left(w,u\right)=f \left(w,\frac{u}{w}\right) \left|\frac{1}{w}\right| \end{align} よって、周辺確率密度関数の定義式 $f \left(x\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f \left(x,y\right)dy$ より、$U$ の周辺確率密度関数は、 \begin{align} g \left(u\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f \left(w,\frac{u}{w}\right) \left|\frac{1}{w}\right|dw=\int_{-\infty}^{\infty}f \left(x,\frac{u}{x}\right) \left|\frac{1}{x}\right|dx \end{align} $\blacksquare$
参考文献
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.66-67
0 件のコメント:
コメントを投稿