2次元確率変数の積の確率密度関数の導出

次のような変数変換を行うと、 $$\begin{array}{r}\{\begin{array}{c}w=x\\ u=xy\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}x=w\\ y=\frac{u}{w}\end{array}\end{array}$$ 変数変換のヤコビアンは、 $$\begin{array}{rl}J& =\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial u}\\ \frac{\partial x}{\partial w}& \frac{\partial y}{\partial w}\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{cc}0& \frac{1}{w}\\ 1& -\frac{1}{w^2}\end{array}\right|\\ & =-\frac{1}{w}\end{array}$$ このとき、$w,u$ の同時確率密度関数 $g(w,u)=f\{x(w,u),y(w,u)\}\left|J\right|$ は、 $$\begin{array}{r}g(w,u)=f(w,\frac{u}{w})\left|\frac{1}{w}\right|\end{array}$$ よって、周辺確率密度関数の定義式 $f\left(x\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dy$ より、$U$ の周辺確率密度関数は、 $$\begin{array}{r}g\left(u\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(w,\frac{u}{w})\left|\frac{1}{w}\right|dw={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,\frac{u}{x})\left|\frac{1}{x}\right|dx\end{array}$$ $◼$