離散型一様分布の確率母関数・モーメント母関数の導出-あるノマドの知の旅路～数学・統計学への道

離散型一様分布の確率母関数・モーメント母関数の導出

公開日： 2023/03/15

本稿では、離散型一様分布の確率母関数・モーメント母関数を導出しています。離散型一様分布の場合、実用的には母関数を用いるよりも定義に沿って期待値や分散を求める方が簡単ではありますが、母関数は等比数列の和の公式を使って導出することができます。

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目次[非表示]

1.【定理】離散型一様分布の確率母関数・モーメント母関数
- 1.1.導出
2.参考文献
3.関連記事

【定理】離散型一様分布の確率母関数・モーメント母関数

【定理】
離散型一様分布の確率母関数・モーメント母関数
PGF and MGF of Discrete Uniform Distribution

離散一様分布 $DU (n)$ の確率母関数 $G_{X} (θ)$ とモーメント母関数 $M_{X} (θ)$ は、 $\begin{matrix} G_{X} (θ) = \frac{θ}{n} \cdot \frac{1 - θ^{n}}{1 - θ} \\ M_{X} (θ) = \frac{e^{θ}}{n} \cdot \frac{1 - e^{n θ}}{1 - e^{θ}} \end{matrix}$ で与えられる。

導出

（I）確率母関数
確率母関数の定義式 $G_{X} (θ) = \sum_{x = 0}^{\infty} θ^{x} \cdot f (x)$ より、 $\begin{aligned} G_{X} (θ) & = \sum_{x = 1}^{n} θ^{x} \cdot \frac{1}{n} \\ = \frac{1}{n} \sum_{x = 1}^{n} θ^{x} \\ = \frac{1}{n} (θ + θ^{2} + \dots + \dots θ^{n}) \end{aligned}$ 等比数列の和の公式 $S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r}$ より、 $a_{1} = θ, r = θ$ とすると、 $\begin{array}{r} G_{X} (θ) = \frac{θ}{n} \cdot \frac{1 - θ^{n}}{1 - θ} \end{array}$ $◼$

（II）モーメント母関数
モーメント母関数の定義式 $M_{X} (θ) = \sum_{x = - \infty}^{\infty} e^{θ x} \cdot f (x)$ より、 $\begin{aligned} M_{X} (θ) & = \sum_{x = 1}^{n} e^{θ x} \cdot \frac{1}{n} \\ = \frac{1}{n} \sum_{x = 1}^{n} e^{θ x} \\ = \frac{1}{n} (e^{θ} + e^{2 θ} + \dots e^{n θ}) \end{aligned}$ 等比数列の和の公式 $S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r}$ より、 $a_{1} = e^{θ}, r = e^{θ}$ とすると、 $\begin{array}{r} M_{X} (θ) = \frac{e^{θ}}{n} \cdot \frac{(1 - e^{n θ})}{1 - e^{θ}} \end{array}$ $◼$

参考文献

Probability Generating Function of Discrete Uniform Distribution. Proof wiki. 2022-07-30. https://proofwiki.org/wiki/Probability_Generating_Function_of_Discrete_Uniform_Distribution, (accessed 2022-09-30).
Moment Generating Function of Discrete Uniform Distribution. Proof wiki. 2021-10-20. https://proofwiki.org/wiki/Moment_Generating_Function_of_Discrete_Uniform_Distribution, (accessed 2022-09-30).

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