離散型一様分布の確率母関数・モーメント母関数の導出

（I）確率母関数
確率母関数の定義式 $G_X \left(\theta\right)=\sum_{x=0}^{\infty}{\theta^x \cdot f \left(x\right)}$ より、 \begin{align} G_X \left(\theta\right)&=\sum_{x=1}^{n}{\theta^x \cdot \frac{1}{n}}\\ &=\frac{1}{n}\sum_{x=1}^{n}\theta^x\\ &=\frac{1}{n} \left(\theta+\theta^2+ \cdots + \cdots \theta^n\right) \end{align} 等比数列の和の公式 $S_n=\frac{a_1 \left(1-r^n\right)}{1-r}$ より、$a_1=\theta,r=\theta$ とすると、 \begin{align} G_X \left(\theta\right)=\frac{\theta}{n} \cdot \frac{1-\theta^n}{1-\theta} \end{align} $\blacksquare$

（II）モーメント母関数
モーメント母関数の定義式 $M_X \left(\theta\right)=\sum_{x=-\infty}^{\infty}{e^{\theta x} \cdot f \left(x\right)}$ より、 \begin{align} M_X \left(\theta\right)&=\sum_{x=1}^{n}{e^{\theta x} \cdot \frac{1}{n}}\\ &=\frac{1}{n}\sum_{x=1}^{n}e^{\theta x}\\ &=\frac{1}{n} \left(e^\theta+e^{2\theta}+ \cdots e^{n\theta}\right) \end{align} 等比数列の和の公式 $S_n=\frac{a_1 \left(1-r^n\right)}{1-r}$ より、$a_1=e^\theta,r=e^\theta$ とすると、 \begin{align} M_X \left(\theta\right)=\frac{e^\theta}{n} \cdot \frac{ \left(1-e^{n\theta}\right)}{1-e^\theta} \end{align} $\blacksquare$