本稿では、①定義に沿った方法、②確率母関数を用いる方法、③モーメント母関数を用いる方法の3通りの方法で、離散型一様分布の期待値と分散を導出しています。実用上は①の方法が最も簡単ですが、②・③の方法の場合、他の確率分布とは少し変わった考え方をする必要があります。
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【公式】離散型一様分布の期待値と分散
【公式】
離散型一様分布の期待値と分散
Expected Value and Variance of Discrete Uniform Distribution
離散一様分布 $\mathrm{DU} \left(n\right)$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V \left(X\right)$ は、 \begin{gather} E \left(X\right)=\frac{n+1}{2}\\ V \left(X\right)=\frac{n^2-1}{12} \end{gather} で与えられる。
導出法①：定義に沿った方法
（i）期待値
期待値の定義式 $E \left(X\right)=\sum_{x=-\infty}^{\infty}{x \cdot f \left(x\right)}$ より、
\begin{align}
E \left(X\right)&=\sum_{x=1}^{n}{x \cdot \frac{1}{n}}\\
&=\frac{1}{n}\sum_{x=1}^{n}x
\end{align}
自然数の和の公式 $\sum_{x=1}^{n}x=\frac{n \left(n+1\right)}{2}$ より、
\begin{align}
E \left(X\right)&=\frac{1}{n} \cdot \frac{n \left(n+1\right)}{2}\\
&=\frac{n+1}{2}
\end{align}
$\blacksquare$
（ii）分散
2乗の期待値の定義式 $E \left(X^2\right)=\sum_{x=-\infty}^{\infty}{x^2 \cdot f \left(x\right)}$ より、
\begin{align}
E \left(X^2\right)&=\sum_{x=1}^{n}{x^2 \cdot \frac{1}{n}}\\
&=\frac{1}{n}\sum_{x=1}^{n}x^2
\end{align}
自然数の2乗和の公式 $\sum_{x=1}^{n}x^2=\frac{n \left(n+1\right) \left(2n+1\right)}{6}$ より、
\begin{align}
E \left(X^2\right)&=\frac{1}{n} \cdot \frac{n \left(n+1\right) \left(2n+1\right)}{6}\\
&=\frac{ \left(n+1\right) \left(2n+1\right)}{6}
\end{align}
分散の公式 $V \left(X\right)=E \left(X^2\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、
\begin{align}
V \left(X\right)&=\frac{ \left(n+1\right) \left(2n+1\right)}{6}- \left(\frac{n+1}{2}\right)^2\\
&=\frac{2n^2+3n+1}{6}-\frac{n^2+2n+1}{4}\\
&=\frac{2 \left(2n^2+3n+1\right)-3 \left(n^2+2n+1\right)}{12}\\
&=\frac{4n^2+6n+2-3n^2-6n-3}{12}\\
&=\frac{n^2-1}{12}
\end{align}
$\blacksquare$
導出法②：確率母関数を用いる方法
（i）期待値
確率母関数の定義式 $G_X \left(\theta\right)=\sum_{x=0}^{\infty}{\theta^x \cdot f \left(x\right)}$ より、
\begin{align}
G_X \left(\theta\right)&=\sum_{x=1}^{n}{\theta^x \cdot \frac{1}{n}}\\
&=\frac{1}{n} \left(\theta+\theta^2+ \cdots +\theta^n\right)
\end{align}
確率母関数の1階微分を求めると、
\begin{align}
G_X^{ \left(1\right)} \left(\theta\right)&=\frac{1}{n}\sum_{x=1}^{n}{x\theta^{x-1}}\\
&=\frac{1}{n} \left(1+2\theta+ \cdots +n\theta^{n-1}\right)
\end{align}
1次モーメントと確率母関数の関係 $G_X^{ \left(1\right)} \left(1\right)=E \left(X\right)$ より、
\begin{align}
E \left(X\right)&=\frac{1}{n}\sum_{x=1}^{n}x\\
&=\frac{1}{n} \left(1+2+ \cdots +n\right)
\end{align}
自然数の和の公式 $\sum_{x=1}^{n}x=\frac{n \left(n+1\right)}{2}$ より、
\begin{align}
E \left(X\right)&=\frac{1}{n} \cdot \frac{n \left(n+1\right)}{2}\\
&=\frac{n+1}{2}
\end{align}
$\blacksquare$
（ii）分散
確率母関数の2階微分を求めると、
\begin{align}
G_X^{ \left(2\right)} \left(\theta\right)&=\frac{1}{n}\sum_{x=1}^{n}{x \left(x-1\right)\theta^{x-2}}\\
&=\frac{1}{n} \left\{2+6\theta+ \cdots +n \left(n-1\right)\theta^{n-2}\right\}
\end{align}
2次階乗モーメントと確率母関数の関係 $G_X^{ \left(2\right)} \left(1\right)=E \left\{X \left(X-1\right)\right\}$ より、
\begin{align}
E \left\{X \left(X-1\right)\right\}&=\frac{1}{n}\sum_{x=1}^{n}x \left(x-1\right)\\
&=\frac{1}{n} \left(\sum_{x=1}^{n}x^2-\sum_{x=1}^{n}x\right)
\end{align}
自然数の和の公式と自然数の2乗和の公式より、
\begin{gather}
\sum_{x=1}^{n}x=\frac{n \left(n+1\right)}{2}\\
\sum_{x=1}^{n}x^2=\frac{n \left(n+1\right) \left(2n+1\right)}{6}
\end{gather}
したがって、
\begin{align}
E \left\{X \left(X-1\right)\right\}&=\frac{1}{n} \left\{\frac{n \left(n+1\right) \left(2n+1\right)}{6}-\frac{n \left(n+1\right)}{2}\right\}\\
&=\frac{ \left(n+1\right) \left(2n+1\right)}{6}-\frac{n+1}{2}
\end{align}
分散の公式 $V \left(X\right)=E \left\{X \left(X-1\right)\right\}+E \left(X\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、
\begin{align}
V \left(X\right)&=\frac{ \left(n+1\right) \left(2n+1\right)}{6}-\frac{n+1}{2}+\frac{n+1}{2}- \left(\frac{n+1}{2}\right)^2\\
&=\frac{n^2-1}{12}
\end{align}
$\blacksquare$
導出法③：モーメント母関数を用いる方法
（i）期待値
モーメント母関数の定義式 $M_X \left(\theta\right)=\sum_{x=-\infty}^{\infty}{e^{\theta x} \cdot f \left(x\right)}$ より、
\begin{align}
M_X \left(\theta\right)&=\sum_{x=1}^{n}{e^{\theta x} \cdot \frac{1}{n}}\\
&=\frac{1}{n} \left(e^\theta+e^{2\theta}+ \cdots +e^{n\theta}\right)
\end{align}
モーメント母関数の1階微分を求めると、
\begin{align}
M_X^{ \left(1\right)} \left(\theta\right)&=\frac{1}{n}\sum_{x=1}^{n}{xe^\theta}\\
&=\frac{1}{n} \left(e^\theta+2e^{2\theta}+ \cdots +ne^{n\theta}\right)
\end{align}
1次モーメントとモーメント母関数の関係 $M_X^{ \left(1\right)} \left(0\right)=E \left(X\right)$ より、
\begin{align}
E \left(X\right)&=\frac{1}{n}\sum_{x=1}^{n}x\\
&=\frac{1}{n} \left(1+2+ \cdots +n\right)
\end{align}
自然数の和の公式 $\sum_{x=1}^{n}x=\frac{n \left(n+1\right)}{2}$ より、
\begin{align}
E \left(X\right)&=\frac{1}{n} \cdot \frac{n \left(n+1\right)}{2}\\
&=\frac{n+1}{2}
\end{align}
$\blacksquare$
（ii）分散
モーメント母関数の2階微分を求めると、
\begin{align}
M_X^{ \left(2\right)} \left(\theta\right)&=\frac{1}{n}\sum_{x=1}^{n}{x^2e^\theta}\\
&=\frac{e^\theta}{n} \left(1+4+ \cdots +n^2\right)
\end{align}
2次モーメントとモーメント母関数の関係 $M_X^{ \left(2\right)} \left(0\right)=E \left(X^2\right)$ より、
\begin{align}
E \left(X^2\right)=\frac{1}{n}\sum_{x=1}^{n}x^2
\end{align}
自然数の2乗和の公式 $\sum_{x=1}^{n}x^2=\frac{n \left(n+1\right) \left(2n+1\right)}{6}$ より、
\begin{align}
E \left(X^2\right)&=\frac{1}{n} \cdot \frac{n \left(n+1\right) \left(2n+1\right)}{6}\\
&=\frac{ \left(n+1\right) \left(2n+1\right)}{6}
\end{align}
分散の公式 $V \left(X\right)=E \left(X^2\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、
\begin{align}
V \left(X\right)&=\frac{ \left(n+1\right) \left(2n+1\right)}{6}- \left(\frac{n+1}{2}\right)^2\\
&=\frac{n^2-1}{12}
\end{align}
$\blacksquare$
参考文献
- 稲垣 宣生 著. 数理統計学. 裳華房, 2003, p.26
- 久保川 達也 著, 新井 仁之, 小林 俊行, 斎藤 毅, 吉田 朋広 編. 現代数理統計学の基礎. 共立出版, 2017, p.29-30, p.50 演習問題 問1
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