離散型一様分布の期待値と分散の導出

（i）期待値
期待値の定義式 $E\left(X\right)=\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =\sum _{x=1}^{n}x\cdot \frac{1}{n}\\ & =\frac{1}{n}\sum _{x=1}^{n}x\end{array}$$ 自然数の和の公式 $\sum _{x=1}^{n}x=\frac{n(n+1)}{2}$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =\frac{1}{n}\cdot \frac{n(n+1)}{2}\\ & =\frac{n+1}{2}\end{array}$$ $◼$

（ii）分散
2乗の期待値の定義式 $E\left(X^2\right)=\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^2\cdot f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X^2\right)& =\sum _{x=1}^n{x}^2\cdot \frac{1}{n}\\ & =\frac{1}{n}\sum _{x=1}^n{x}^2\end{array}$$ 自然数の2乗和の公式 $\sum _{x=1}^n{x}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X^2\right)& =\frac{1}{n}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ & =\frac{(n+1)(2n+1)}{6}\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(X\right)& =\frac{(n+1)(2n+1)}{6}-{\left(\frac{n+1}{2}\right)}^2\\ & =\frac{2n^2+3n+1}{6}-\frac{n^2+2n+1}{4}\\ & =\frac{2(2n^2+3n+1)-3(n^2+2n+1)}{12}\\ & =\frac{4n^2+6n+2-3n^2-6n-3}{12}\\ & =\frac{n^2-1}{12}\end{array}$$ $◼$

（i）期待値
確率母関数の定義式 $G_X\left(\theta \right)=\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}{\theta }^x\cdot f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}{G}_X\left(\theta \right)& =\sum _{x=1}^n{\theta }^x\cdot \frac{1}{n}\\ & =\frac{1}{n}(\theta +{\theta }^2+\cdots +{\theta }^n)\end{array}$$ 確率母関数の1階微分を求めると、 $$\begin{array}{rl}{G}_X^{\left(1\right)}\left(\theta \right)& =\frac{1}{n}\sum _{x=1}^{n}x{\theta }^{x-1}\\ & =\frac{1}{n}(1+2\theta +\cdots +n{\theta }^{n-1})\end{array}$$ 1次モーメントと確率母関数の関係 $G_X^{\left(1\right)}\left(1\right)=E\left(X\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =\frac{1}{n}\sum _{x=1}^{n}x\\ & =\frac{1}{n}(1+2+\cdots +n)\end{array}$$ 自然数の和の公式 $\sum _{x=1}^{n}x=\frac{n(n+1)}{2}$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =\frac{1}{n}\cdot \frac{n(n+1)}{2}\\ & =\frac{n+1}{2}\end{array}$$ $◼$

（ii）分散
確率母関数の2階微分を求めると、 $$\begin{array}{rl}{G}_X^{\left(2\right)}\left(\theta \right)& =\frac{1}{n}\sum _{x=1}^{n}x(x-1){\theta }^{x-2}\\ & =\frac{1}{n}\{2+6\theta +\cdots +n(n-1){\theta }^{n-2}\}\end{array}$$ 2次階乗モーメントと確率母関数の関係 $G_X^{\left(2\right)}\left(1\right)=E\left\{X(X-1)\right\}$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left\{X(X-1)\right\}& =\frac{1}{n}\sum _{x=1}^{n}x(x-1)\\ & =\frac{1}{n}(\sum _{x=1}^n{x}^2-\sum _{x=1}^{n}x)\end{array}$$ 自然数の和の公式と自然数の2乗和の公式より、 $$\begin{array}{c}\sum _{x=1}^{n}x=\frac{n(n+1)}{2}\\ \sum _{x=1}^n{x}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{rl}E\left\{X(X-1)\right\}& =\frac{1}{n}\{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{n(n+1)}{2}\}\\ & =\frac{(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{n+1}{2}\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(X\right)=E\left\{X(X-1)\right\}+E\left(X\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(X\right)& =\frac{(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{n+1}{2}+\frac{n+1}{2}-{\left(\frac{n+1}{2}\right)}^2\\ & =\frac{n^2-1}{12}\end{array}$$ $◼$

（i）期待値
モーメント母関数の定義式 $M_X\left(\theta \right)=\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\theta x}\cdot f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}{M}_X\left(\theta \right)& =\sum _{x=1}^n{e}^{\theta x}\cdot \frac{1}{n}\\ & =\frac{1}{n}(e^{\theta }+e^{2\theta }+\cdots +e^{n\theta })\end{array}$$ モーメント母関数の1階微分を求めると、 $$\begin{array}{rl}{M}_X^{\left(1\right)}\left(\theta \right)& =\frac{1}{n}\sum _{x=1}^{n}x{e}^{\theta }\\ & =\frac{1}{n}(e^{\theta }+2e^{2\theta }+\cdots +n{e}^{n\theta })\end{array}$$ 1次モーメントとモーメント母関数の関係 $M_X^{\left(1\right)}\left(0\right)=E\left(X\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =\frac{1}{n}\sum _{x=1}^{n}x\\ & =\frac{1}{n}(1+2+\cdots +n)\end{array}$$ 自然数の和の公式 $\sum _{x=1}^{n}x=\frac{n(n+1)}{2}$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =\frac{1}{n}\cdot \frac{n(n+1)}{2}\\ & =\frac{n+1}{2}\end{array}$$ $◼$

（ii）分散
モーメント母関数の2階微分を求めると、 $$\begin{array}{rl}{M}_X^{\left(2\right)}\left(\theta \right)& =\frac{1}{n}\sum _{x=1}^n{x}^2{e}^{\theta }\\ & =\frac{e^{\theta }}{n}(1+4+\cdots +n^2)\end{array}$$ 2次モーメントとモーメント母関数の関係 $M_X^{\left(2\right)}\left(0\right)=E\left(X^2\right)$ より、 $$\begin{array}{r}E\left(X^2\right)=\frac{1}{n}\sum _{x=1}^n{x}^2\end{array}$$ 自然数の2乗和の公式 $\sum _{x=1}^n{x}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X^2\right)& =\frac{1}{n}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ & =\frac{(n+1)(2n+1)}{6}\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(X\right)& =\frac{(n+1)(2n+1)}{6}-{\left(\frac{n+1}{2}\right)}^2\\ & =\frac{n^2-1}{12}\end{array}$$ $◼$