指数分布の定義と概要

本稿では、指数分布の定義と概要についてまとめています。確率密度関数であることの証明、累積分布関数の導出、期待値・分散、モーメント母関数、再生性の紹介が含まれます。

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指数分布

定義・意味

単位時間あたり平均 $\lambda$ 回発生する事象があるとき、 その事象が起こってから、次にその事象が起こるまでの間隔 $X$ が従う連続型確率分布を指数分布 exponential distribution という。

確率密度関数

確率密度関数 $f(x)$ は、 $$\begin{array}{r}f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}\lambda e^{-\lambda x}& 0\le x\\ 0& \mathrm{other}\end{array}\end{array}$$ で与えられる。

略記法

また、指数分布は、 $$\begin{array}{r}\mathrm{Ex}\left(\lambda \right)\end{array}$$ と略記されることがある。

 

確率密度関数であることの証明

 

【公式】指数分布の累積分布関数

 

導出

 

【定理】指数分布の導出：指数分布とポアソン分布の関係

 

導出

 

重要事項のまとめ

略記法

$$\begin{array}{r}\mathrm{Ex}\left(\lambda \right)\end{array}$$

パラメータ

$$\begin{array}{c}0<\lambda \end{array}$$

確率密度関数

$$\begin{array}{r}f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}\lambda e^{-\lambda x}& 0\le x\\ 0& \mathrm{other}\end{array}\end{array}$$

累積分布関数

$$\begin{array}{r}F\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}0& x<0\\ 1-e^{-\lambda x}& 0\le x\end{array}\end{array}$$

期待値

$$\begin{array}{r}E\left(X\right)=\frac{1}{\lambda }\end{array}$$

分散

$$\begin{array}{r}V\left(X\right)=\frac{1}{{\lambda }^2}\end{array}$$

モーメント母関数

$$\begin{array}{r}{M}_X\left(\theta \right)=\frac{\lambda }{\lambda -\theta }\end{array}$$

無記憶性

指数分布には、無記憶性がある。

 

参考文献

• 小寺 平治 著. 数理統計：明解演習. 共立出版, 1986, p.58
• 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.138-140
• 稲垣 宣生 著. 数理統計学. 裳華房, 2003, p.41-43
• 久保川 達也 著, 新井 仁之, 小林 俊行, 斎藤 毅, 吉田 朋広 編. 現代数理統計学の基礎. 共立出版, 2017, p.45-47
• 黒木 学 著. 数理統計学：統計的推論の基礎. 共立出版, 2020, p.112-113

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