指数分布の定義と概要

（i）すべての $x$ に関して、$f \left(x\right) \geq 0$
\begin{align} 0 \lt \lambda \quad 0 \lt e^a \end{align} したがって、 \begin{align} f \left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x} \gt 0 \end{align} （ii）すべての確率の和が1 \begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}f \left(x\right)dx&=\int_{0}^{\infty}{\lambda e^{-\lambda x}dx}\\ &= \left[-\frac{1}{\lambda} \cdot \lambda e^{-\lambda x}\right]_0^\infty\\ &= \left[-e^{-\lambda x}\right]_0^\infty\\ &=- \left(\lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{1}{e^x}}-\frac{1}{e^0}\right)\\ &=1 \end{align} よって、確率密度関数の定義を満たしているため、確率密度関数である。 $\blacksquare$

累積分布関数の定義式 $F \left(x\right)=\int_{-\infty}^{x}f \left(t\right)dt$ より、
（i）$x \lt 0$ のとき \begin{align} F \left(x\right)=\int_{-\infty}^{x}f \left(t\right)dt=\int_{-\infty}^{x}{0 \cdot d t}=0 \end{align} （ii）$0 \le x$ のとき \begin{align} F \left(x\right)&=\int_{-\infty}^{0}f \left(t\right)dt+\int_{0}^{x}f \left(t\right)dt\\ &=\int_{-\infty}^{0}{0 \cdot d t}+\int_{0}^{x}{\lambda e^{-\lambda t}dt}\\ &= \left[-\frac{1}{\lambda} \cdot \lambda e^{-\lambda t}\right]_0^x\\ &=- \left(e^{-\lambda x}-e^{-0}\right)\\ &=1-e^{-\lambda x} \end{align} したがって、 \begin{align} F \left(x\right)= \left\{\begin{matrix}0&x \lt 0\\1-e^{-\lambda x}&0 \le x\\\end{matrix}\right. \end{align} $\blacksquare$

単位時間あたり平均 $\lambda$ 回起こる事象が $t$ 時間で起こる平均回数は、 \begin{align} \lambda t \end{align} ここで、ある固定された時間間隔 \begin{align} \left(0\right., \left.t\right] \end{align} を新たな単位時間とすると、 新たな単位時間の中で事象が $x$ 回生起する確率は、ポアソン分布の定義より、 \begin{align} f \left(x\right)=\frac{ \left(\lambda t\right)^xe^{-\lambda t}}{x!} \end{align} ここで、変数 $T$ をある事象が起こるまでの時間と考えると、単位時間 $t$ の中で事象が起こらない＝起こる回数が $x=0$ 回である確率は、 \begin{align} P \left(T \gt t\right)=e^{-\lambda t} \end{align} 逆に、単位時間 $t$ の中で事象が起こる確率は、余事象の確率より、 \begin{align} P \left(T \le t\right)=1-P \left(T \gt t\right)=1-e^{-\lambda t} \end{align} 累積分布関数の定義式 $F \left(t\right)=P \left(T \le t\right)$ より、 \begin{align} F \left(t\right)=1-e^{-\lambda t} \end{align} 累積分布関数と確率密度関数の関係 $f \left(x\right)=\frac{d}{dx}F \left(x\right)$ より、 \begin{align} f \left(t\right)=\lambda e^{-\lambda t} \end{align} これらは、指数分布の累積分布関数と確率密度関数の定義式である。 $\blacksquare$