ポアソン分布の確率漸化式と最頻値の導出

確率関数の定義式を用いて、比を計算すると、 \begin{align} \frac{P \left(X+1\right)}{P \left(X\right)}&=\frac{\displaystyle\frac{\lambda^{x+1}e^{-\lambda}}{ \left(x+1\right)!}}{\displaystyle\frac{\lambda^xe^{-\lambda}}{x!}}\\ &=\frac{\lambda}{x+1} \end{align} この漸化式は、2つの比が 1よりも小さいときは、$P \left(X\right)$ の方が大きい
1のときは、$P \left(X\right)$ と $P \left(X+1\right)$ が等しい
1よりも大きいときは、$P \left(X+1\right)$ の方が大きい すなわち、 \begin{gather} \frac{P \left(X+1\right)}{P \left(X\right)} \lt 1\Leftrightarrow P \left(X+1\right) \lt P \left(X\right)\\ 1=\frac{P \left(X+1\right)}{P \left(X\right)}\Leftrightarrow P \left(X\right)=P \left(X+1\right)\\ 1 \lt \frac{P \left(X+1\right)}{P \left(X\right)}\Leftrightarrow P \left(X\right) \lt P \left(X+1\right) \end{gather} ということを意味している。 比が1のときの $X$ の値を求めると、 \begin{gather} 1=\frac{\lambda}{x+1}\\ x+1=\lambda\\ x=\lambda-1 \end{gather} したがって、$P \left(X\right)$ は、 $x \lt \lambda-1$ で単調増加
$\lambda-1 \lt x$ で単調減少 すなわち \begin{gather} x \lt \lambda-1\Leftrightarrow P \left(X\right) \lt P \left(X+1\right)\\ \lambda-1 \lt x\Leftrightarrow P \left(X+1\right) \lt P \left(X\right) \end{gather} 最頻値を $m$ とすると、 \begin{align} P \left(0\right) \lt P \left(1\right) \lt \cdots \lt P \left(m-1\right) \lt P \left(m\right) \geq P \left(m+1\right) \gt \cdots \gt P \left(n\right) \end{align} となる。 したがって、最頻値の定義より、
（i）$\lambda$ が整数のとき \begin{align} X=\lambda-1 \quad X+1=\lambda \end{align} において、確率が最大になる。 （ii）$\lambda$ が整数でないとき、 \begin{align} X+1= \left\lceil\lambda\right\rceil \end{align} すなわち、 $\lambda$ を超えない最大の整数 のとき、確率が最大になる。 $\blacksquare$