本稿では、全確率の定理を証明しています。
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【定義】標本空間の分割
【定義】
標本空間の分割
Partition
事象 $A_1,A_2,A_3, \cdots $ について、すべての事象が互いに排反であり、かつ、すべての事象の和集合が標本空間に等しい、すなわち、 すべての $i \neq j$ に対し、 \begin{align} A_i \cap A_j=\emptyset \quad \mathrm{and} \quad \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i=\Omega \end{align} が成り立つとき、 事象 $A_1,A_2,A_3, \cdots $ は標本空間 $\Omega$ の分割であるという。
【定理】全確率の定理
【定理】
全確率の定理
Total Probability Rule
事象 $A_1,A_2,A_3, \cdots $ が標本空間 $\Omega$ の分割であり、$0 \lt P \left(A_i\right)$ のとき、事象 $B$ に対して、 \begin{align} P \left(B\right)=\sum_{i=1}^{\infty}{P \left(A_i\right) \cdot P \left(B\middle| A_i\right)} \end{align} が成り立つ。
証明
自明な式 $B=B \cap \Omega$ に対し、標本空間の分割の定義 $\Omega=\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i$ より、 \begin{align} B=B \cap \left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right) \end{align} 事象の分配法則 $ \left(A \cup B\right) \cap C= \left(A \cup C\right) \cap \left(B \cap C\right)$ より、 \begin{align} B=\bigcup_{i=1}^{\infty} \left(B \cap A_i\right) \end{align} また、すべての $i \neq j$ に対し、$A_i \cap A_j=\emptyset$ なので、 \begin{align} \left(B \cap A_i\right) \cap \left(B \cap A_j\right)=\emptyset \end{align} 確率の公理 $P \left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right)=\sum_{i=1}^{\infty}P \left(A_i\right)$ より、 \begin{align} P \left(B\right)=P \left(B \cap A_1\right)+P \left(B \cap A_2\right)+ \cdots \end{align} 確率の乗法定理 $P \left(A_i \cap B\right)=P \left(A_i\right) \cdot P \left(B\middle| A_i\right)$ より、$0 \lt P \left(A_i\right)$ ならば、 \begin{gather} P \left(B\right)=P \left(A_1\right) \cdot P \left(B\middle| A_1\right)+P \left(A_2\right) \cdot P \left(B\middle| A_2\right)+ \cdots \\ P \left(B\right)=\sum_{i=1}^{\infty}{P \left(A_i\right) \cdot P \left(B\middle| A_i\right)} \end{gather} $\blacksquare$
参考文献
- 小寺 平治 著. 数理統計：明解演習. 共立出版, 1986, p.4-5, p.5
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.22-24
- 久保川 達也 著, 新井 仁之, 小林 俊行, 斎藤 毅, 吉田 朋広 編. 現代数理統計学の基礎. 共立出版, 2017, p.5
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