全確率の定理の証明

自明な式 $B=B\cap \mathrm{\Omega }$ に対し、標本空間の分割の定義 $\mathrm{\Omega }=\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i$ より、 $$\begin{array}{r}B=B\cap \left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)\end{array}$$ 事象の分配法則 $(A\cup B)\cap C=(A\cup C)\cap (B\cap C)$ より、 $$\begin{array}{r}B=\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(B\cap A_i)\end{array}$$ また、すべての $i\ne j$ に対し、$A_i\cap A_j=\mathrm{\varnothing }$ なので、 $$\begin{array}{r}(B\cap A_i)\cap (B\cap A_j)=\mathrm{\varnothing }\end{array}$$ 確率の公理 $P\left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}P\left(A_i\right)$ より、 $$\begin{array}{r}P\left(B\right)=P(B\cap A_1)+P(B\cap A_2)+\cdots \end{array}$$ 確率の乗法定理 $P(A_i\cap B)=P\left(A_i\right)\cdot P\left(B\right|A_i)$ より、$0<P\left(A_i\right)$ ならば、 $$\begin{array}{c}P\left(B\right)=P\left(A_1\right)\cdot P\left(B\right|A_1)+P\left(A_2\right)\cdot P\left(B\right|A_2)+\cdots \\ P\left(B\right)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}P\left(A_i\right)\cdot P\left(B\right|A_i)\end{array}$$ $◼$