ガンマ分布のモーメント母関数の導出-あるノマドの知の旅路～数学・統計学への道

ガンマ分布のモーメント母関数の導出

公開日： 2023/03/30

本稿では、定義に沿った方法でガンマ分布のモーメント母関数を導出しています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

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目次[非表示]

1.【公式】ガンマ分布のモーメント母関数
- 1.1.導出
2.参考文献
3.関連記事

【公式】ガンマ分布のモーメント母関数

【公式】
ガンマ分布のモーメント母関数
Moment-Generating Function of Gamma Distribution

ガンマ分布 $Ga (α, β)$ のモーメント母関数 $M_{X} (θ)$ は、 $\begin{array}{r} M_{X} (θ) = {(\frac{β}{β - θ})}^{α} \end{array}$ で与えられる。

導出

モーメント母関数の定義式 $M_{X} (θ) = \int_{- \infty}^{\infty} e^{θ x} \cdot f (x) d x$ より、 $\begin{aligned} M_{X} (θ) & = \int_{- \infty}^{0} e^{θ x} \cdot 0 d x + \int_{0}^{\infty} e^{θ x} \cdot \frac{β^{α}}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- β x} d x \\ = \frac{β^{α}}{Γ (α)} \int_{0}^{\infty} x^{α - 1} e^{- (β - θ) x} d x \end{aligned}$ ガンマ関数の公式 $\frac{Γ (α)}{β^{α}} = \int_{0}^{\infty} x^{α - 1} \cdot e^{- β x} d x$ より、 $\begin{aligned} M_{X} (θ) & = \frac{β^{α}}{Γ (α)} \cdot {(\frac{1}{β - θ})}^{α} Γ (α) \\ M_{X} (θ) & = {(\frac{β}{β - θ})}^{α} \end{aligned}$ $◼$

参考文献

野田一雄, 宮岡悦良著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.137
黒木学著. 数理統計学：統計的推論の基礎. 共立出版, 2020, p.109

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