本稿では、定義に沿った方法でガンマ分布のモーメント母関数を導出しています。
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【公式】ガンマ分布のモーメント母関数
【公式】
ガンマ分布のモーメント母関数
Moment-Generating Function of Gamma Distribution
ガンマ分布 $\mathrm{Ga} \left(\alpha,\beta\right)$ のモーメント母関数 $M_X \left(\theta\right)$ は、 \begin{align} M_X \left(\theta\right)= \left(\frac{\beta}{\beta-\theta}\right)^\alpha \end{align} で与えられる。
導出
モーメント母関数の定義式 $M_X \left(\theta\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{\theta x} \cdot f \left(x\right)dx}$ より、 \begin{align} M_X \left(\theta\right)&=\int_{-\infty}^{0}{e^{\theta x} \cdot 0dx}+\int_{0}^{\infty}{e^{\theta x} \cdot \frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}dx}\\ &=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)}\int_{0}^{\infty}{x^{\alpha-1}e^{- \left(\beta-\theta\right)x}dx} \end{align} ガンマ関数の公式 $\frac{\Gamma \left(\alpha\right)}{\beta^\alpha}=\int_{0}^{\infty}{x^{\alpha-1} \cdot e^{-\beta x}dx}$ より、 \begin{align} M_X \left(\theta\right)&=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)} \cdot \left(\frac{1}{\beta-\theta}\right)^\alpha\Gamma \left(\alpha\right)\\ M_X \left(\theta\right)&= \left(\frac{\beta}{\beta-\theta}\right)^\alpha \end{align} $\blacksquare$
参考文献
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.137
- 黒木 学 著. 数理統計学：統計的推論の基礎. 共立出版, 2020, p.109
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