変数変換後の独立性の証明

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【2023年3月2週】 【B000】数理統計学 【B020】確率変数と確率分布

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本稿では、変数変換後の独立性を証明しています。

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【定理】変数変換後の独立性

【定理】
変数変換後の独立性
Independence of Transformed Random Variables

確率変数 \begin{align} X_1,X_2, \cdots ,X_n \end{align} が互いに独立であれば、 \begin{align} Y_1=h \left(X_1\right),Y_2=h \left(X_2\right), \cdots ,Y_n=h \left(X_n\right) \end{align} という変数変換を行った後の確率変数 \begin{align} Y_1,Y_2, \cdots ,Y_n \end{align} もまた互いに独立である。

証明

証明

$X_1,X_2, \cdots ,X_n$ は互いに独立なので、どのような事象 $A_1,A_2, \cdots ,A_n$ に対しても、 \begin{align} P \left[\bigcap_{i=1}^{n}{h \left(X_i\right)\in A_i}\right]=P \left[\bigcap_{i=1}^{n}{X_i\in h^{-1} \left(A_i\right)}\right] \end{align} 確率変数の独立性の定義式 $P \left[\bigcap_{i=1}^{n}{X_i\in h^{-1} \left(A_i\right)}\right]=\prod_{i=1}^{n}P \left\{X_i\in h^{-1} \left(A_i\right)\right\}$ より、 \begin{align} P \left[\bigcap_{i=1}^{n}{h \left(X_i\right)\in A_i}\right]&=\prod_{i=1}^{n}P \left\{X_i\in h^{-1} \left(A_i\right)\right\}\\ &=\prod_{i=1}^{n}P \left\{h \left(X_i\right)\in A_i\right\} \end{align} $\blacksquare$

参考文献

  • 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.52-53, p.56-58, p.64

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大学時代に読書の面白さに気づいて以来、読書や勉強を通じて、興味をもったことや新しいことを学ぶことが生きる原動力。そんな人間が、その時々に学んだことを備忘録兼人生の軌跡として記録しているブログです。

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