変数変換後の独立性の証明

$X_1,X_2,\cdots ,X_n$ は互いに独立なので、どのような事象 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ に対しても、 $$\begin{array}{r}P\left[\bigcap _{i=1}^{n}h\left(X_i\right)\in A_i\right]=P\left[\bigcap _{i=1}^n{X}_i\in h^{-1}\left(A_i\right)\right]\end{array}$$ 確率変数の独立性の定義式 $P\left[\bigcap _{i=1}^n{X}_i\in h^{-1}\left(A_i\right)\right]=\prod _{i=1}^{n}P\{X_i\in h^{-1}\left(A_i\right)\}$ より、 $$\begin{array}{rl}P\left[\bigcap _{i=1}^{n}h\left(X_i\right)\in A_i\right]& =\prod _{i=1}^{n}P\{X_i\in h^{-1}\left(A_i\right)\}\\ & =\prod _{i=1}^{n}P\{h\left(X_i\right)\in A_i\}\end{array}$$ $◼$