幾何分布の無記憶性の証明

（i）右辺について
幾何分布の累積分布関数の公式 $F\left(x\right)=1-{(1-p)}^{x+1}$ より、 $$\begin{array}{r}P(X<m)=P(m-1\le X)=1-{(1-p)}^m\end{array}$$ 確率の基本性質 $P\left(A^C\right)=1-P\left(A\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}P(X\ge m)& =1-P(m-1\le X)\\ & =1-\{1-{(1-p)}^m\}\\ & ={(1-p)}^m\end{array}$$

（ii）左辺について
条件付き確率の定義式 $P\left(B\right|A)=\frac{P(A\cap B)}{P\left(A\right)}$ より、 $$\begin{array}{r}P(X\ge n+m|X\ge n)=\frac{P\{(X\ge n+m)\cap (X\ge n)\}}{P(X\ge n)}\end{array}$$ ここで、$X\ge n+m$ であれば、必ず $X\ge n$ といえるので、 $$\begin{array}{r}P\{(X\ge n+m)\cap (X\ge n)\}=P(X\ge n+m)\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{rl}P(X\ge n+m|X\ge n)& =\frac{P(X\ge n+m)}{P(X\ge n)}\\ & =\frac{P(X\le n+m-1)}{1-P(X\le n-1)}\end{array}$$ 幾何分布の累積分布関数の公式より、 $$\begin{array}{rl}P(X\ge n+m|X\ge n)& =\frac{{(1-p)}^{n+m}}{{(1-p)}^n}\\ & ={(1-p)}^m\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}P(X\ge n+m|X\ge n)=P(X\ge m)\end{array}$$ $◼$

条件付き確率の定義式を用いて与式を変形すると、 $$\begin{array}{c}\frac{P(X\ge n+m)}{P(X\ge n)}=P(X\ge m)\\ P(X\ge n+m)=P(X\ge n)\cdot P(X\ge m)\end{array}$$ $n=0,m=0$ を代入すると、 $$\begin{array}{c}P(X\ge 0)=P(X\ge 0)\cdot P(X\ge 0)\\ P(X\ge 0)=1\end{array}$$ また、 $$\begin{array}{c}P(X=0)=p\\ 0<p<1\end{array}$$ とおくと、 確率の基本性質 $P\left(A^C\right)=1-P\left(A\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}P(X\ge 1)& =1-p\\ P(X\ge m+1)& =P(X\ge 1)\cdot P(X\ge m)\\ & =(1-p)P(X\ge m)\end{array}$$ すなわち、$m=1,2,\cdots$ について、 $$\begin{array}{r}P(X\ge m)={(1-p)}^m\end{array}$$ 離散型確率変数における確率関数と分布関数の関係 $$\begin{array}{r}P(X=x)=P(x\le X)-P(x+1\le X)\end{array}$$ より、 $$\begin{array}{rl}P(X=x)& ={(1-p)}^x-{(1-p)}^{x+1}\\ & =p{(1-p)}^x\end{array}$$ これは幾何分布の確率関数の定義式であるから、確率変数 $X$ は幾何分布に従う。 $◼$