ベルヌーイ分布の確率母関数・モーメント母関数の導出-あるノマドの知の旅路～数学・統計学への道

ベルヌーイ分布の確率母関数・モーメント母関数の導出

公開日： 2023/03/16

本稿では、ベルヌーイ分布の確率母関数・モーメント母関数を導出しています。ベルヌーイ分布の場合、取り得る値が0と1しかないので、定義から直接計算することによって母関数を導出することができます。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

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目次[非表示]

1.【定理】ベルヌーイ分布の確率母関数・モーメント母関数
- 1.1.導出
2.参考文献
3.関連記事

【定理】ベルヌーイ分布の確率母関数・モーメント母関数

【定理】
ベルヌーイ分布の確率母関数・モーメント母関数
PGF and MGF of Bernoulli Distribution

ベルヌーイ分布 $Ber (p)$ の確率母関数 $G_{X} (θ)$ とモーメント母関数 $M_{X} (θ)$ は、 $\begin{matrix} G_{X} (θ) = θ p + (1 - p) \\ M_{X} (θ) = e^{θ} p + (1 - p) \end{matrix}$ で与えられる。

導出

（I）確率母関数
確率母関数の定義式 $G_{X} (θ) = \sum_{x = 0}^{\infty} θ^{x} \cdot f (x)$ より、 $\begin{aligned} G_{X} (θ) & = \sum_{x = 0}^{1} θ^{x} \cdot p^{x} {(1 - p)}^{1 - x} \\ = {(θ p)}^{0} {(1 - p)}^{1 - 0} + {(θ p)}^{1} {(1 - p)}^{1 - 1} \\ = θ p + (1 - p) \end{aligned}$ $◼$

（II）モーメント母関数
モーメント母関数の定義式 $M_{X} (θ) = \sum_{x = - \infty}^{\infty} e^{θ x} \cdot f (x)$ より、 $\begin{aligned} M_{X} (θ) & = \sum_{x = 0}^{1} e^{θ x} p^{x} {(1 - p)}^{1 - x} \\ = {(e^{θ} p)}^{0} {(1 - p)}^{1 - 0} + {(e^{θ} p)}^{1} {(1 - p)}^{1 - 1} \\ = e^{θ} p + (1 - p) \end{aligned}$ $◼$

参考文献

野田一雄, 宮岡悦良著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.101
黒木学著. 数理統計学：統計的推論の基礎. 共立出版, 2020, p.81-82

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