本稿では、ベルヌーイ分布の確率母関数・モーメント母関数を導出しています。ベルヌーイ分布の場合、取り得る値が0と1しかないので、定義から直接計算することによって母関数を導出することができます。
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【定理】ベルヌーイ分布の確率母関数・モーメント母関数
【定理】
ベルヌーイ分布の確率母関数・モーメント母関数
PGF and MGF of Bernoulli Distribution
ベルヌーイ分布 $\mathrm{Ber}(p)$ の確率母関数 $G_X \left(\theta\right)$ とモーメント母関数 $M_X \left(\theta\right)$ は、 \begin{gather} G_X \left(\theta\right)=\theta p+ \left(1-p\right)\\ M_X \left(\theta\right)=e^\theta p+ \left(1-p\right) \end{gather} で与えられる。
導出
（I）確率母関数
確率母関数の定義式 $G_X \left(\theta\right)=\sum_{x=0}^{\infty}{\theta^x \cdot f \left(x\right)}$ より、
\begin{align}
G_X \left(\theta\right)&=\sum_{x=0}^{1}{\theta^x \cdot \ p^x \left(1-p\right)^{1-x}}\\
&= \left(\theta p\right)^0 \left(1-p\right)^{1-0}+ \left(\theta p\right)^1 \left(1-p\right)^{1-1}\\
&=\theta p+ \left(1-p\right)
\end{align}
$\blacksquare$
（II）モーメント母関数
モーメント母関数の定義式 $M_X \left(\theta\right)=\sum_{x=-\infty}^{\infty}{e^{\theta x} \cdot f \left(x\right)}$ より、
\begin{align}
M_X \left(\theta\right)&=\sum_{x=0}^{1}{e^{\theta x}p^x \left(1-p\right)^{1-x}}\\
&= \left(e^\theta p\right)^0 \left(1-p\right)^{1-0}+ \left(e^\theta p\right)^1 \left(1-p\right)^{1-1}\\
&=e^\theta p+ \left(1-p\right)
\end{align}
$\blacksquare$
参考文献
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.101
- 黒木 学 著. 数理統計学：統計的推論の基礎. 共立出版, 2020, p.81-82
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