変数変換後の確率密度関数の導出

（i）関数 $h$ が狭義単調増加の場合
関数 $h$ が区間 $(a,b)$ において、連続、かつ狭義単調増加であるとすると、その逆関数も区間 $(\alpha ,\beta )$ において連続で、単調増加である。

$y\in (\alpha ,\beta )$ に対し、$Y$ の累積分布関数を $G\left(y\right)=P(Y\le y)$ とすると、 $$\begin{array}{rl}G\left(y\right)& =P(Y\le y)\\ & =P\{h\left(X\right)\le y\}\\ & =P\{X\le h^{-1}\left(y\right)\}\\ & =F\left\{h^{-1}\left(y\right)\right\}\end{array}$$ 区間 $(\alpha ,\beta )$ で $h$ の逆関数 $h^{-1}$ が微分可能であるとすると、累積分布関数と確率密度関数の関係、合成関数の微分法により、 $$\begin{array}{rl}g\left(y\right)& =\frac{d}{dy}G\left(y\right)\\ & =\frac{d}{dy}F\left\{h^{-1}\left(y\right)\right\}\\ & =f\left\{h^{-1}\left(y\right)\right\}\frac{d}{dy}{h}^{-1}\left(y\right)\end{array}$$

（ii）関数 $h$ が狭義単調減少の場合
関数 $h$ が区間 $(a,b)$ において、連続、かつ狭義単調減少であるとすると、その逆関数も区間 $(\alpha ,\beta )$ において連続で、単調減少である。

$y\in (\alpha ,\beta )$ に対し、$Y$ の累積分布関数を $G\left(y\right)=P(Y\le y)$ とすると、 $$\begin{array}{rl}G\left(y\right)& =P(Y\le y)\\ & =P\{h\left(X\right)\le y\}\\ & =P\{X\ge h^{-1}\left(y\right)\}\\ & =1-F\left\{h^{-1}\left(y\right)\right\}\end{array}$$ 区間 $(\alpha ,\beta )$ で $h$ の逆関数 $h^{-1}$ が微分可能であるとすると、累積分布関数と確率密度関数の関係、合成関数の微分法により、 $$\begin{array}{rl}g\left(y\right)& =\frac{d}{dy}G\left(y\right)\\ & =\frac{d}{dy}[1-F\left\{h^{-1}\left(y\right)\right\}]\\ & =-f\left\{h^{-1}\left(y\right)\right\}\frac{d}{dy}{h}^{-1}\left(y\right)\end{array}$$ ここで、$h^{-1}$ は単調減少 $\frac{d}{dy}{h}^{-1}\left(y\right)<0$ なので、 $$\begin{array}{r}g\left(y\right)=f\left\{h^{-1}\left(y\right)\right\}\left|\frac{d{h}^{-1}\left(y\right)}{dy}\right|\end{array}$$ $◼$