変数変換後の確率密度関数の導出

（i）関数 $h$ が狭義単調増加の場合
関数 $h$ が区間 $ \left(a,b\right)$ において、連続、かつ狭義単調増加であるとすると、その逆関数も区間 $ \left(\alpha,\beta\right)$ において連続で、単調増加である。

$y\in \left(\alpha,\beta\right)$ に対し、$Y$ の累積分布関数を $G \left(y\right)=P \left(Y \le y\right)$ とすると、 \begin{align} G \left(y\right)&=P \left(Y \le y\right)\\ &=P \left\{h \left(X\right) \le y\right\}\\ &=P \left\{X \le h^{-1} \left(y\right)\right\}\\ &=F \left\{h^{-1} \left(y\right)\right\} \end{align} 区間 $ \left(\alpha,\beta\right)$ で $h$ の逆関数 $h^{-1}$ が微分可能であるとすると、累積分布関数と確率密度関数の関係、合成関数の微分法により、 \begin{align} g \left(y\right)&=\frac{d}{dy}G \left(y\right)\\ &=\frac{d}{dy}F \left\{h^{-1} \left(y\right)\right\}\\ &=f \left\{h^{-1} \left(y\right)\right\}\frac{d}{dy}h^{-1} \left(y\right) \end{align}

（ii）関数 $h$ が狭義単調減少の場合
関数 $h$ が区間 $ \left(a,b\right)$ において、連続、かつ狭義単調減少であるとすると、その逆関数も区間 $ \left(\alpha,\beta\right)$ において連続で、単調減少である。

$y\in \left(\alpha,\beta\right)$ に対し、$Y$ の累積分布関数を $G \left(y\right)=P \left(Y \le y\right)$ とすると、 \begin{align} G \left(y\right)&=P \left(Y \le y\right)\\ &=P \left\{h \left(X\right) \le y\right\}\\ &=P \left\{X \geq h^{-1} \left(y\right)\right\}\\ &=1-F \left\{h^{-1} \left(y\right)\right\} \end{align} 区間 $ \left(\alpha,\beta\right)$ で $h$ の逆関数 $h^{-1}$ が微分可能であるとすると、累積分布関数と確率密度関数の関係、合成関数の微分法により、 \begin{align} g \left(y\right)&=\frac{d}{dy}G \left(y\right)\\ &=\frac{d}{dy} \left[1-F \left\{h^{-1} \left(y\right)\right\}\right]\\ &=-f \left\{h^{-1} \left(y\right)\right\}\frac{d}{dy}h^{-1} \left(y\right) \end{align} ここで、$h^{-1}$ は単調減少 $\frac{d}{dy}h^{-1} \left(y\right) \lt 0$ なので、 \begin{align} g \left(y\right)=f \left\{h^{-1} \left(y\right)\right\} \left|\frac{dh^{-1} \left(y\right)}{dy}\right| \end{align} $\blacksquare$