超幾何分布の確率漸化式と最頻値の導出

確率関数の定義式を用いて、比を計算すると、 \begin{align} \frac{P \left(X+1\right)}{P \left(X\right)}&=\frac{\displaystyle\frac{{}_{k}C_{x+1} \cdot {}_{N-k}C_{n-x-1}}{{}_{N}C_n}}{\displaystyle\frac{{}_{k}C_x \cdot {}_{N-k}C_{n-x}}{{}_{N}C_n}}\\ &=\frac{{}_{k}C_{x+1} \cdot {}_{N-k}C_{n-x-1}}{{}_{k}C_x \cdot {}_{N-k}C_{n-x}}\\ &=\frac{\displaystyle\frac{k!}{ \left(x+1\right)! \left\{k- \left(x+1\right)\right\}!}}{\displaystyle\frac{k!}{x! \left(k-x\right)!}} \cdot \frac{\displaystyle\frac{ \left(N-k\right)!}{ \left(n-x-1\right)! \left\{ \left(N-k\right)- \left(n-x-1\right)\right\}!}}{\displaystyle\frac{ \left(N-k\right)!}{ \left(n-x\right)! \left\{ \left(N-k\right)- \left(n-x\right)\right\}!}}\\ &=\frac{ \left(k-x\right) \left(n-x\right)}{ \left(x+1\right) \left(N-k-n+x+1\right)} \end{align} この漸化式は、2つの比が 1よりも小さいときは、$P \left(X\right)$ の方が大きい
1のときは、$P \left(X\right)$ と $P \left(X+1\right)$ が等しい
1よりも大きいときは、$P \left(X+1\right)$ の方が大きい すなわち、 \begin{gather} \frac{P \left(X+1\right)}{P \left(X\right)} \lt 1\Leftrightarrow P \left(X+1\right) \lt P \left(X\right)\\ 1=\frac{P \left(X+1\right)}{P \left(X\right)}\Leftrightarrow P \left(X\right)=P \left(X+1\right)\\ 1 \lt \frac{P \left(X+1\right)}{P \left(X\right)}\Leftrightarrow P \left(X\right) \lt P \left(X+1\right) \end{gather} ということを意味している。 比が1のときの $X$ の値を求めると、 \begin{gather} 1=\frac{ \left(k-x\right) \left(n-x\right)}{ \left(x+1\right) \left(N-k-n+x+1\right)}\\ \left(x+1\right) \left(N-k-n+x+1\right)= \left(k-x\right) \left(n-x\right)\\ \left(N-k-n+x+1\right)x+ \left(N-k-n+x+1\right)=kn-kx-nx+x^2\\ Nx-kx-nx+x^2+x+N-k-n+x+1=kn-kx-nx+x^2\\ Nx+2x+N-k-n+1=kn\\ Nx+2x+N+1=kn+k+n\\ \end{gather} 両辺に1を足すと、 \begin{gather} Nx+2x+N+2=kn+k+n+1\\ \left(N+2\right) \left(x+1\right)= \left(n+1\right) \left(k+1\right)\\ x+1=\frac{ \left(n+1\right) \left(k+1\right)}{N+2}\\ x=\frac{ \left(n+1\right) \left(k+1\right)}{N+2}-1 \end{gather} したがって、$P \left(X\right)$ は、 $x \lt \frac{ \left(n+1\right) \left(k+1\right)}{N+2}-1$ で単調増加
$\frac{ \left(n+1\right) \left(k+1\right)}{N+2}-1 \lt x$ で単調減少 すなわち \begin{gather} x \lt \frac{ \left(n+1\right) \left(k+1\right)}{N+2}-1\Leftrightarrow P \left(X\right) \lt P \left(X+1\right)\\ \frac{ \left(n+1\right) \left(k+1\right)}{N+2}-1 \lt x\Leftrightarrow P \left(X+1\right) \lt P \left(X\right) \end{gather} 最頻値を $m$ とすると、 \begin{align} P \left(0\right) \lt P \left(1\right) \lt \cdots \lt P \left(m-1\right) \lt P \left(m\right) \geq P \left(m+1\right) \gt \cdots \gt P \left(n\right) \end{align} となる。 したがって、最頻値の定義より、
（i）$\frac{ \left(n+1\right) \left(k+1\right)}{N+2}$ が整数のとき \begin{align} X=\frac{ \left(n+1\right) \left(k+1\right)}{N+2}-1 \quad X+1=\frac{ \left(n+1\right) \left(k+1\right)}{N+2} \end{align} において、確率が最大になる。 （ii）$\frac{ \left(n+1\right) \left(k+1\right)}{N+2}$ が整数でないとき、 \begin{align} X+1= \left\lceil\frac{ \left(n+1\right) \left(k+1\right)}{N+2}\right\rceil \end{align} すなわち、 $\lambda$ を超えない最大の整数 のとき、確率が最大になる。 $\blacksquare$