超幾何分布の確率漸化式と最頻値の導出

確率関数の定義式を用いて、比を計算すると、 $$\begin{array}{rl}\frac{P(X+1)}{P\left(X\right)}& =\frac{{\displaystyle \frac{{}_k{C}_{x+1}\cdot {}_{N-k}{C}_{n-x-1}}{{}_N{C}_n}}}{{\displaystyle \frac{{}_k{C}_x\cdot {}_{N-k}{C}_{n-x}}{{}_N{C}_n}}}\\ & =\frac{{}_k{C}_{x+1}\cdot {}_{N-k}{C}_{n-x-1}}{{}_k{C}_x\cdot {}_{N-k}{C}_{n-x}}\\ & =\frac{{\displaystyle \frac{k!}{(x+1)!\{k-(x+1)\}!}}}{{\displaystyle \frac{k!}{x!(k-x)!}}}\cdot \frac{{\displaystyle \frac{(N-k)!}{(n-x-1)!\{(N-k)-(n-x-1)\}!}}}{{\displaystyle \frac{(N-k)!}{(n-x)!\{(N-k)-(n-x)\}!}}}\\ & =\frac{(k-x)(n-x)}{(x+1)(N-k-n+x+1)}\end{array}$$ この漸化式は、2つの比が 1よりも小さいときは、$P\left(X\right)$ の方が大きい
1のときは、$P\left(X\right)$ と $P(X+1)$ が等しい
1よりも大きいときは、$P(X+1)$ の方が大きい すなわち、 $$\begin{array}{c}\frac{P(X+1)}{P\left(X\right)}<1\iff P(X+1)<P\left(X\right)\\ 1=\frac{P(X+1)}{P\left(X\right)}\iff P\left(X\right)=P(X+1)\\ 1<\frac{P(X+1)}{P\left(X\right)}\iff P\left(X\right)<P(X+1)\end{array}$$ ということを意味している。 比が1のときの $X$ の値を求めると、 $$\begin{array}{c}1=\frac{(k-x)(n-x)}{(x+1)(N-k-n+x+1)}\\ (x+1)(N-k-n+x+1)=(k-x)(n-x)\\ (N-k-n+x+1)x+(N-k-n+x+1)=kn-kx-nx+x^2\\ Nx-kx-nx+x^2+x+N-k-n+x+1=kn-kx-nx+x^2\\ Nx+2x+N-k-n+1=kn\\ Nx+2x+N+1=kn+k+n\end{array}$$ 両辺に1を足すと、 $$\begin{array}{c}Nx+2x+N+2=kn+k+n+1\\ (N+2)(x+1)=(n+1)(k+1)\\ x+1=\frac{(n+1)(k+1)}{N+2}\\ x=\frac{(n+1)(k+1)}{N+2}-1\end{array}$$ したがって、$P\left(X\right)$ は、 $x<\frac{(n+1)(k+1)}{N+2}-1$ で単調増加
$\frac{(n+1)(k+1)}{N+2}-1<x$ で単調減少 すなわち $$\begin{array}{c}x<\frac{(n+1)(k+1)}{N+2}-1\iff P\left(X\right)<P(X+1)\\ \frac{(n+1)(k+1)}{N+2}-1<x\iff P(X+1)<P\left(X\right)\end{array}$$ 最頻値を $m$ とすると、 $$\begin{array}{r}P\left(0\right)<P\left(1\right)<\cdots <P(m-1)<P\left(m\right)\ge P(m+1)>\cdots >P\left(n\right)\end{array}$$ となる。 したがって、最頻値の定義より、
（i）$\frac{(n+1)(k+1)}{N+2}$ が整数のとき $$\begin{array}{r}X=\frac{(n+1)(k+1)}{N+2}-1X+1=\frac{(n+1)(k+1)}{N+2}\end{array}$$ において、確率が最大になる。 （ii）$\frac{(n+1)(k+1)}{N+2}$ が整数でないとき、 $$\begin{array}{r}X+1=\lceil \frac{(n+1)(k+1)}{N+2}\rceil \end{array}$$ すなわち、 $\lambda$ を超えない最大の整数 のとき、確率が最大になる。 $◼$