負の二項分布の確率母関数・モーメント母関数の導出

（i）確率母関数
確率母関数の定義式 $G_X \left(\theta\right)=\sum_{x=0}^{\infty}{\theta^x \cdot f \left(x\right)}$ より、 \begin{align} G_X \left(\theta\right)=\sum_{x=0}^{\infty}{\theta^x \cdot \ {}_{n+x-1}C_xp^n \left(1-p\right)^x} \end{align} 負の二項係数 ${}_{n+x-1}C_x= \left(-1\right)^x \cdot {}_{-n}C_x$ より、 \begin{align} G_X \left(\theta\right)&=\sum_{x=0}^{\infty}{\theta^x \cdot \ \left(-1\right)^x \cdot {}_{-n}C_xp^n \left(1-p\right)^x}\\ &=p^n\sum_{x=0}^{\infty}{\ {}_{-n}C_x \left\{-\theta \left(1-p\right)\right\}^x} \end{align} 確率母関数が存在する $G_X \left(\theta\right) \lt \infty$ ためには、 \begin{gather} \left|-\theta \left(1-p\right)\right| \lt 1\\ \theta \lt \frac{1}{1-p} \end{gather} 一般化二項定理 $ \left(1+y\right)^a=\sum_{r=0}^{\infty}{{}_{a}C_xy^x}$ において、$a=-n,y=-\theta \left(1-p\right)$ とすると、 \begin{align} \sum_{x=0}^{\infty}{\ {}_{-n}C_x \left\{-\theta \left(1-p\right)\right\}^x}= \left\{1-\theta \left(1-p\right)\right\}^{-n} \end{align} したがって、 \begin{align} G_X \left(\theta\right)&=p^n \cdot \left\{1-\theta \left(1-p\right)\right\}^{-n}\\ &= \left\{\frac{p}{1-\theta \left(1-p\right)}\right\}^n \end{align} $\blacksquare$

（ii）モーメント母関数
モーメント母関数の定義式 $M_X \left(\theta\right)=\sum_{x=-\infty}^{\infty}{e^{\theta x} \cdot f \left(x\right)}$ より、 \begin{align} M_X \left(\theta\right)=\sum_{x=0}^{\infty}{e^{\theta x} \cdot \ {}_{n+x-1}C_xp^n \left(1-p\right)^x} \end{align} 負の二項係数 ${}_{n+x-1}C_x= \left(-1\right)^x \cdot {}_{-n}C_x$ より、 \begin{align} M_X \left(\theta\right)&=\sum_{x=0}^{\infty}{e^{\theta x} \cdot \ \ \left(-1\right)^x \cdot {}_{-n}C_xp^n \left(1-p\right)^x}\\ &=p^n\sum_{x=0}^{\infty}{\ {}_{-n}C_x \left\{-e^\theta \left(1-p\right)\right\}^x} \end{align} 確率母関数が存在する $G_X \left(\theta\right) \lt \infty$ ためには、 \begin{gather} \left|-e^\theta \left(1-p\right)\right| \lt 1\\ e^\theta \lt \frac{1}{1-p}\\ \theta \lt \log{\frac{1}{1-p}} \end{gather} 一般化二項定理 $ \left(1+y\right)^a=\sum_{r=0}^{\infty}{{}_{a}C_xy^x}$ において、$a=-n,y=-e^\theta \left(1-p\right)$ とすると、 \begin{align} \sum_{x=0}^{\infty}{\ {}_{-n}C_x \left\{-e^\theta \left(1-p\right)\right\}^x}= \left\{1-e^\theta \left(1-p\right)\right\}^{-n} \end{align} したがって、 \begin{align} M_X \left(\theta\right)&=p^n \cdot \left\{1-e^\theta \left(1-p\right)\right\}^{-n}\\ &= \left\{\frac{p}{1-e^\theta \left(1-p\right)}\right\}^n \end{align} $\blacksquare$

負の二項分布の確率変数 $Y$ を互いに独立に幾何分布に従う確率変数 $X_i\ \left(i=1,2, \cdots ,n\right)$ の和と考えると、 \begin{align} Y=X_1+X_2+ \cdots +X_n \end{align}

（I）確率母関数
幾何分布の確率母関数の公式より、 \begin{align} G_{X_i} \left(\theta\right)=\frac{p}{1-\theta \left(1-p\right)} \end{align} 確率母関数の性質 $G_Y \left(\theta\right)=\prod_{i=1}^{n}{G_{X_i} \left(\theta\right)}$ より、 \begin{align} G_Y \left(\theta\right)=\prod_{i=1}^{n}\frac{p}{1-\theta \left(1-p\right)}= \left\{\frac{p}{1-\theta \left(1-p\right)}\right\}^n \end{align} $\blacksquare$

（II）モーメント母関数
幾何分布のモーメント母関数の公式より、 \begin{align} M_{X_i} \left(\theta\right)=\frac{p}{1-e^\theta \left(1-p\right)} \end{align} モーメント母関数の性質 $M_Y \left(\theta\right)=\prod_{i=1}^{n}{M_{X_i} \left(\theta\right)}$ より、 \begin{align} M_Y \left(\theta\right)=\prod_{i=1}^{n}\frac{p}{1-e^\theta \left(1-p\right)}= \left\{\frac{p}{1-e^\theta \left(1-p\right)}\right\}^n \end{align} $\blacksquare$