負の二項分布の確率母関数・モーメント母関数の導出

（i）確率母関数
確率母関数の定義式 $G_X\left(\theta \right)=\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}{\theta }^x\cdot f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{r}{G}_X\left(\theta \right)=\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}{\theta }^x\cdot {}_{n+x-1}{C}_x{p}^n{(1-p)}^x\end{array}$$ 負の二項係数 ${}_{n+x-1}{C}_x={(-1)}^x\cdot {}_{-n}{C}_x$ より、 $$\begin{array}{rl}{G}_X\left(\theta \right)& =\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}{\theta }^x\cdot {(-1)}^x\cdot {}_{-n}{C}_x{p}^n{(1-p)}^x\\ & =p^n\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}{}_{-n}{C}_x{\{-\theta (1-p)\}}^x\end{array}$$ 確率母関数が存在する $G_X\left(\theta \right)<\mathrm{\infty }$ ためには、 $$\begin{array}{c}|-\theta (1-p)|<1\\ \theta <\frac{1}{1-p}\end{array}$$ 一般化二項定理 ${(1+y)}^a=\sum _{r=0}^{\mathrm{\infty }}{}_a{C}_x{y}^x$ において、$a=-n,y=-\theta (1-p)$ とすると、 $$\begin{array}{r}\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}{}_{-n}{C}_x{\{-\theta (1-p)\}}^x={\{1-\theta (1-p)\}}^{-n}\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{rl}{G}_X\left(\theta \right)& =p^n\cdot {\{1-\theta (1-p)\}}^{-n}\\ & ={\left\{\frac{p}{1-\theta (1-p)}\right\}}^n\end{array}$$ $◼$

（ii）モーメント母関数
モーメント母関数の定義式 $M_X\left(\theta \right)=\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\theta x}\cdot f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{r}{M}_X\left(\theta \right)=\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\theta x}\cdot {}_{n+x-1}{C}_x{p}^n{(1-p)}^x\end{array}$$ 負の二項係数 ${}_{n+x-1}{C}_x={(-1)}^x\cdot {}_{-n}{C}_x$ より、 $$\begin{array}{rl}{M}_X\left(\theta \right)& =\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\theta x}\cdot {(-1)}^x\cdot {}_{-n}{C}_x{p}^n{(1-p)}^x\\ & =p^n\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}{}_{-n}{C}_x{\{-e^{\theta }(1-p)\}}^x\end{array}$$ 確率母関数が存在する $G_X\left(\theta \right)<\mathrm{\infty }$ ためには、 $$\begin{array}{c}|-e^{\theta }(1-p)|<1\\ e^{\theta }<\frac{1}{1-p}\\ \theta <\log \frac{1}{1-p}\end{array}$$ 一般化二項定理 ${(1+y)}^a=\sum _{r=0}^{\mathrm{\infty }}{}_a{C}_x{y}^x$ において、$a=-n,y=-e^{\theta }(1-p)$ とすると、 $$\begin{array}{r}\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}{}_{-n}{C}_x{\{-e^{\theta }(1-p)\}}^x={\{1-e^{\theta }(1-p)\}}^{-n}\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{rl}{M}_X\left(\theta \right)& =p^n\cdot {\{1-e^{\theta }(1-p)\}}^{-n}\\ & ={\left\{\frac{p}{1-e^{\theta }(1-p)}\right\}}^n\end{array}$$ $◼$

負の二項分布の確率変数 $Y$ を互いに独立に幾何分布に従う確率変数 $X_i(i=1,2,\cdots ,n)$ の和と考えると、 $$\begin{array}{r}Y=X_1+X_2+\cdots +X_n\end{array}$$

（I）確率母関数
幾何分布の確率母関数の公式より、 $$\begin{array}{r}{G}_{X_i}\left(\theta \right)=\frac{p}{1-\theta (1-p)}\end{array}$$ 確率母関数の性質 $G_Y\left(\theta \right)=\prod _{i=1}^n{G}_{X_i}\left(\theta \right)$ より、 $$\begin{array}{r}{G}_Y\left(\theta \right)=\prod _{i=1}^n\frac{p}{1-\theta (1-p)}={\left\{\frac{p}{1-\theta (1-p)}\right\}}^n\end{array}$$ $◼$

（II）モーメント母関数
幾何分布のモーメント母関数の公式より、 $$\begin{array}{r}{M}_{X_i}\left(\theta \right)=\frac{p}{1-e^{\theta }(1-p)}\end{array}$$ モーメント母関数の性質 $M_Y\left(\theta \right)=\prod _{i=1}^n{M}_{X_i}\left(\theta \right)$ より、 $$\begin{array}{r}{M}_Y\left(\theta \right)=\prod _{i=1}^n\frac{p}{1-e^{\theta }(1-p)}={\left\{\frac{p}{1-e^{\theta }(1-p)}\right\}}^n\end{array}$$ $◼$