ブールの不等式の証明

任意の自然数 $n$ に関する数学的帰納法によって示す。

（i）$n=1$ のとき、 $$\begin{array}{r}P\left(A_1\right)=P\left(A_1\right)\end{array}$$ なので、与式は成立する。

（ii）$n=k$ のときに題意が成り立つ、すなわち、 $$\begin{array}{r}P(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_k)\le P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)+\cdots +P\left(A_k\right)\end{array}$$ と仮定する。 確率の加法定理 $P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A\cap B)$ より、 $$\begin{array}{r}P(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_k\cup A_{k+1})=P(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_k)+P\left(A_{k+1}\right)-P\{(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_k)\cap A_{k+1}\}\end{array}$$ 帰納法の仮定と確率の公理 $0\le P(A\cap B)$ より、 $$\begin{array}{c}P(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n\cup A_{k+1})\le P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)+\cdots +P\left(A_k\right)+P\left(A_{k+1}\right)\\ P\left(\bigcup _{i=1}^{k+1}{A}_i\right)\le \sum _{i=1}^{k+1}P\left(A_i\right)\end{array}$$ したがって、$n=k+1$ のときも題意は成り立つので、数学的帰納法により、任意の自然数において、題意は成り立つ。

等号は、各事象が互いに排反なときに成り立つ。 $◼$