指数分布の無記憶性の証明

（i）右辺について
指数分布の累積分布関数の公式 $F \left(x\right)=1-e^{-\lambda x}$ より、 \begin{align} P \left(X \gt t\right)=1-P \left(X \le t\right)=1- \left(1-e^{-\lambda t}\right)=e^{-\lambda t} \end{align}

（ii）左辺について
条件付き確率の定義式 $P \left(B\middle| A\right)=\frac{P \left(A \cap B\right)}{P \left(A\right)}$ より、 \begin{align} P \left(X \gt s+t\middle| X \gt s\right)=\frac{P \left\{ \left(X \gt s+t\right) \cap \left(X \gt s\right)\right\}}{P \left(X \gt s\right)} \end{align} ここで、$X \gt s+t$ であれば、必ず $X \gt s$ といえるので、 \begin{align} P \left\{ \left(X \gt s+t\right) \cap \left(X \gt s\right)\right\}=P \left(X \gt s+t\right) \end{align} したがって、 \begin{align} P \left(X \gt s+t\middle| X \gt s\right)&=\frac{P \left(X \gt s+t\right)}{P \left(X \gt s\right)}\\ &=\frac{e^{-\lambda \left(s+t\right)}}{e^{-\lambda s}}\\ &=e^{-\lambda t} \end{align}

よって、 \begin{align} P \left(X \gt s+t\middle| X \gt s\right)=P \left(X \gt t\right) \end{align} $\blacksquare$

条件付き確率の定義式を用いて与式を変形すると、 \begin{gather} \frac{P \left(X \gt s+t\right)}{P \left(X \gt s\right)}=P \left(X \gt t\right)\\ P \left(X \gt s+t\right)=P \left(X \gt s\right) \cdot P \left(X \gt t\right) \end{gather} $s=0,t=0$ を代入すると、 \begin{gather} P \left(X \gt 0\right)=P \left(X \gt 0\right) \cdot P \left(X \gt 0\right)\\ P \left(X \gt 0\right)=1 \quad P \left(X \gt 0\right)=0 \end{gather} 仮定 $0 \lt X$ より、 \begin{gather} P \left(X \gt 0\right)=1 \end{gather} また、 \begin{gather} G \left(x\right)=P \left(X \gt x\right)\\ \end{gather} とおくと、 確率の基本性質 $P \left(A^C\right)=1-P \left(A\right)$ より、 \begin{align} G \left(s+t\right)=G \left(s\right) \cdot G \left(t\right) \end{align} これを満たす関数は、 \begin{align} G \left(t\right)=0 \quad G \left(t\right)=e^{-\lambda t} \end{align} 累積分布関数の定義式 $F \left(x\right)=1-P \left(X \gt x\right)$ より、 \begin{align} F \left(x\right)=1-e^{-\lambda x} \end{align} これは指数分布の累積分布関数の定義式であるから、確率変数 $X$ は指数分布に従う。 $\blacksquare$