指数分布の無記憶性の証明

（i）右辺について
指数分布の累積分布関数の公式 $F\left(x\right)=1-e^{-\lambda x}$ より、 $$\begin{array}{r}P(X>t)=1-P(X\le t)=1-(1-e^{-\lambda t})=e^{-\lambda t}\end{array}$$

（ii）左辺について
条件付き確率の定義式 $P\left(B\right|A)=\frac{P(A\cap B)}{P\left(A\right)}$ より、 $$\begin{array}{r}P(X>s+t|X>s)=\frac{P\{(X>s+t)\cap (X>s)\}}{P(X>s)}\end{array}$$ ここで、$X>s+t$ であれば、必ず $X>s$ といえるので、 $$\begin{array}{r}P\{(X>s+t)\cap (X>s)\}=P(X>s+t)\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{rl}P(X>s+t|X>s)& =\frac{P(X>s+t)}{P(X>s)}\\ & =\frac{e^{-\lambda (s+t)}}{e^{-\lambda s}}\\ & =e^{-\lambda t}\end{array}$$

よって、 $$\begin{array}{r}P(X>s+t|X>s)=P(X>t)\end{array}$$ $◼$

条件付き確率の定義式を用いて与式を変形すると、 $$\begin{array}{c}\frac{P(X>s+t)}{P(X>s)}=P(X>t)\\ P(X>s+t)=P(X>s)\cdot P(X>t)\end{array}$$ $s=0,t=0$ を代入すると、 $$\begin{array}{c}P(X>0)=P(X>0)\cdot P(X>0)\\ P(X>0)=1P(X>0)=0\end{array}$$ 仮定 $0<X$ より、 $$\begin{array}{c}P(X>0)=1\end{array}$$ また、 $$\begin{array}{c}G\left(x\right)=P(X>x)\end{array}$$ とおくと、 確率の基本性質 $P\left(A^C\right)=1-P\left(A\right)$ より、 $$\begin{array}{r}G(s+t)=G\left(s\right)\cdot G\left(t\right)\end{array}$$ これを満たす関数は、 $$\begin{array}{r}G\left(t\right)=0G\left(t\right)=e^{-\lambda t}\end{array}$$ 累積分布関数の定義式 $F\left(x\right)=1-P(X>x)$ より、 $$\begin{array}{r}F\left(x\right)=1-e^{-\lambda x}\end{array}$$ これは指数分布の累積分布関数の定義式であるから、確率変数 $X$ は指数分布に従う。 $◼$