ガンマ分布の線形変換

ガンマ分布の確率密度関数 $f(x)$ は、 \begin{gather} f \left(x\right)= \left\{\begin{matrix}\displaystyle\frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}&0 \le x\\0&\mathrm{other}\\\end{matrix}\right.\\ \end{gather} 線形変換の公式 $g \left(y\right)=f \left(\frac{y-b}{a}\right) \cdot \frac{1}{ \left|a\right|}$ より、 \begin{align} g \left(y\right)&=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)} \left(\frac{y}{c}\right)^{\alpha-1}e^{-\frac{\beta}{c}y} \cdot \frac{1}{c}\\ &= \left(\frac{\beta}{c}\right)^\alpha\frac{1}{\Gamma \left(\alpha\right)}y^{\alpha-1}e^{-\frac{\beta}{c}y} \end{align} これは、ガンマ分布の確率関数において、 \begin{align} \beta\rightarrow\frac{\beta}{c} \quad x\rightarrow y \end{align} と置き換えたものとみなすことができる。 したがって、確率関数の一意性により、確率変数 $Y$ は、ガンマ分布 \begin{align} Y \sim \mathrm{Ga} \left(\alpha,\frac{\beta}{c}\right) \end{align} に従う。 $\blacksquare$