ガンマ分布の線形変換

ガンマ分布の確率密度関数 $f(x)$ は、 $$\begin{array}{c}f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}}& 0\le x\\ 0& \mathrm{other}\end{array}\end{array}$$ 線形変換の公式 $g\left(y\right)=f\left(\frac{y-b}{a}\right)\cdot \frac{1}{\left|a\right|}$ より、 $$\begin{array}{rl}g\left(y\right)& =\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{\left(\frac{y}{c}\right)}^{\alpha -1}{e}^{-\frac{\beta }{c}y}\cdot \frac{1}{c}\\ & ={\left(\frac{\beta }{c}\right)}^{\alpha }\frac{1}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{y}^{\alpha -1}{e}^{-\frac{\beta }{c}y}\end{array}$$ これは、ガンマ分布の確率関数において、 $$\begin{array}{r}\beta \to \frac{\beta }{c}x\to y\end{array}$$ と置き換えたものとみなすことができる。 したがって、確率関数の一意性により、確率変数 $Y$ は、ガンマ分布 $$\begin{array}{r}Y\sim \mathrm{Ga}(\alpha ,\frac{\beta }{c})\end{array}$$ に従う。 $◼$