二項分布の確率漸化式と最頻値の導出

確率関数の定義式を用いて、比を計算すると、 \begin{align} \frac{P \left(X+1\right)}{P \left(X\right)}&=\frac{{}_{n}C_{x+1}p^{x+1} \left(1-p\right)^{n-x-1}}{{}_{n}C_xp^x \left(1-p\right)^{n-x}}\\ &=\frac{\displaystyle\frac{n!}{ \left(x+1\right)! \left(n-x-1\right)!}p^{x+1} \left(1-p\right)^{n-x-1}}{\displaystyle\frac{n!}{x! \left(n-x\right)!}p^x \left(1-p\right)^{n-x}}\\ &=\frac{ \left(n-x\right)p}{ \left(x+1\right) \left(1-p\right)} \end{align} この漸化式は、2つの比が 1よりも小さいときは、$P \left(X\right)$ の方が大きい
1のときは、$P \left(X\right)$ と $P \left(X+1\right)$ が等しい
1よりも大きいときは、$P \left(X+1\right)$ の方が大きい すなわち、 \begin{gather} \frac{P \left(X+1\right)}{P \left(X\right)} \lt 1\Leftrightarrow P \left(X+1\right) \lt P \left(X\right)\\ 1=\frac{P \left(X+1\right)}{P \left(X\right)}\Leftrightarrow P \left(X\right)=P \left(X+1\right)\\ 1 \lt \frac{P \left(X+1\right)}{P \left(X\right)}\Leftrightarrow P \left(X\right) \lt P \left(X+1\right) \end{gather} ということを意味している。 比が1のときの $X$ の値を求めると、 \begin{gather} \frac{ \left(n-x\right)p}{ \left(x+1\right) \left(1-p\right)}=1\\ \left(x+1\right) \left(1-p\right)= \left(n-x\right)p\\ x-xp+1-p=np-xp\\ x=np+p-1\\ x= \left(n+1\right)p-1 \end{gather} したがって、$P \left(X\right)$ は、 $x \lt \left(n+1\right)p-1$ で単調増加
$ \left(n+1\right)p-1 \lt x$ で単調減少 すなわち \begin{gather} x \lt \left(n+1\right)p-1\Leftrightarrow P \left(X\right) \lt P \left(X+1\right)\\ \left(n+1\right)p-1 \lt x\Leftrightarrow P \left(X+1\right) \lt P \left(X\right) \end{gather} 最頻値を $m$ とすると、 \begin{align} P \left(0\right) \lt P \left(1\right) \lt \cdots \lt P \left(m-1\right) \lt P \left(m\right) \geq P \left(m+1\right) \gt \cdots \gt P \left(n\right) \end{align} となる。 したがって、最頻値の定義より、
（i）$ \left(n+1\right)p$ が整数のとき \begin{align} X= \left(n+1\right)p-1 \quad X+1= \left(n+1\right)p \end{align} において、確率が最大になる。 （ii）$ \left(n+1\right)p$ が整数でないとき、 \begin{align} X+1= \left\lceil \left(n+1\right)p\right\rceil \end{align} すなわち、 $ \left(n+1\right)p$ を超えない最大の整数 のとき、確率が最大になる。 $\blacksquare$