二項分布の確率漸化式と最頻値の導出

確率関数の定義式を用いて、比を計算すると、 $$\begin{array}{rl}\frac{P(X+1)}{P\left(X\right)}& =\frac{{}_n{C}_{x+1}{p}^{x+1}{(1-p)}^{n-x-1}}{{}_n{C}_x{p}^x{(1-p)}^{n-x}}\\ & =\frac{{\displaystyle \frac{n!}{(x+1)!(n-x-1)!}{p}^{x+1}{(1-p)}^{n-x-1}}}{{\displaystyle \frac{n!}{x!(n-x)!}{p}^x{(1-p)}^{n-x}}}\\ & =\frac{(n-x)p}{(x+1)(1-p)}\end{array}$$ この漸化式は、2つの比が 1よりも小さいときは、$P\left(X\right)$ の方が大きい
1のときは、$P\left(X\right)$ と $P(X+1)$ が等しい
1よりも大きいときは、$P(X+1)$ の方が大きい すなわち、 $$\begin{array}{c}\frac{P(X+1)}{P\left(X\right)}<1\iff P(X+1)<P\left(X\right)\\ 1=\frac{P(X+1)}{P\left(X\right)}\iff P\left(X\right)=P(X+1)\\ 1<\frac{P(X+1)}{P\left(X\right)}\iff P\left(X\right)<P(X+1)\end{array}$$ ということを意味している。 比が1のときの $X$ の値を求めると、 $$\begin{array}{c}\frac{(n-x)p}{(x+1)(1-p)}=1\\ (x+1)(1-p)=(n-x)p\\ x-xp+1-p=np-xp\\ x=np+p-1\\ x=(n+1)p-1\end{array}$$ したがって、$P\left(X\right)$ は、 $x<(n+1)p-1$ で単調増加
$(n+1)p-1<x$ で単調減少 すなわち $$\begin{array}{c}x<(n+1)p-1\iff P\left(X\right)<P(X+1)\\ (n+1)p-1<x\iff P(X+1)<P\left(X\right)\end{array}$$ 最頻値を $m$ とすると、 $$\begin{array}{r}P\left(0\right)<P\left(1\right)<\cdots <P(m-1)<P\left(m\right)\ge P(m+1)>\cdots >P\left(n\right)\end{array}$$ となる。 したがって、最頻値の定義より、
（i）$(n+1)p$ が整数のとき $$\begin{array}{r}X=(n+1)p-1X+1=(n+1)p\end{array}$$ において、確率が最大になる。 （ii）$(n+1)p$ が整数でないとき、 $$\begin{array}{r}X+1=\lceil (n+1)p\rceil \end{array}$$ すなわち、 $(n+1)p$ を超えない最大の整数 のとき、確率が最大になる。 $◼$