ベルヌーイ分布の期待値・分散の導出

（i）期待値
期待値の定義式 $E\left(X\right)=\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =\sum _{x=0}^{1}x\cdot f\left(x\right)\\ & =0\cdot p^0{(1-p)}^1+1\cdot p^1{(1-p)}^0\\ & =p\end{array}$$ $◼$

（ii）分散
2乗の期待値の定義式 $E\left(X^2\right)=\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^2\cdot f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X^2\right)& =\sum _{x=0}^1{x}^2\cdot f\left(x\right)\\ & =0\cdot p^0{(1-p)}^1+1\cdot p^1{(1-p)}^0\\ & =p\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(X\right)& =p-p^2\\ & =p(1-p)\end{array}$$ $◼$

（i）期待値
ベルヌーイ分布の確率母関数の公式より、 $$\begin{array}{r}{G}_X\left(\theta \right)=\theta p+(1-p)\end{array}$$ 確率母関数の1階微分を求めると、 $$\begin{array}{r}{G}_X^{\left(1\right)}\left(\theta \right)=p\end{array}$$ 1次モーメントと確率母関数の関係 $G_X^{\left(1\right)}\left(1\right)=E\left(X\right)$ より、 $$\begin{array}{r}E\left(X\right)=p\end{array}$$ $◼$

（ii）分散
確率母関数の2階微分を求めると、 $$\begin{array}{r}{G}_X^{\left(2\right)}\left(\theta \right)=0\end{array}$$ 2次階乗モーメントと確率母関数の関係 $G_X^{\left(2\right)}\left(1\right)=E\left\{X(X-1)\right\}$ より、 $$\begin{array}{r}E\left\{X(X-1)\right\}=0\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(X\right)=E\left\{X(X-1)\right\}+E\left(X\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(X\right)& =p-p^2\\ & =p(1-p)\end{array}$$ $◼$

（i）期待値
ベルヌーイ分布のモーメント母関数の公式より、 $$\begin{array}{r}{M}_X\left(\theta \right)=e^{\theta }p+(1-p)\end{array}$$ モーメント母関数の1階微分を求めると、 $$\begin{array}{r}{M}_X^{\left(1\right)}\left(\theta \right)=e^{\theta }p\end{array}$$ 1次モーメントとモーメント母関数の関係 $M_X^{\left(1\right)}\left(0\right)=E\left(X\right)$ より、 $$\begin{array}{r}E\left(X\right)=p\end{array}$$ $◼$

（ii）分散
モーメント母関数の2階微分を求めると、 $$\begin{array}{r}{M}_X^{\left(2\right)}\left(\theta \right)=e^{\theta }p\end{array}$$ 2次モーメントとモーメント母関数の関係 $M_X^{\left(2\right)}\left(0\right)=E\left(X^2\right)$ より、 $$\begin{array}{r}E\left(X^2\right)=p\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(X\right)& =p-p^2\\ & =p(1-p)\end{array}$$ $◼$