本稿では、①定義に沿った方法、②確率母関数を用いる方法、③モーメント母関数を用いる方法の3通りの方法で、ベルヌーイ分布の期待値と分散を導出しています。いずれの方法でも簡単に導出することができます。
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【公式】ベルヌーイ分布の期待値・分散
【公式】
ベルヌーイ分布の期待値・分散
Expected Value and Variance of Bernoulli Distribution
ベルヌーイ分布 $\mathrm{Ber} \left(p\right)$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V \left(X\right)$ は、 \begin{gather} E \left(X\right)=p\\ V \left(X\right)=p \left(1-p\right) \end{gather} で与えられる。
導出法①：定義に沿った方法
（i）期待値
期待値の定義式 $E \left(X\right)=\sum_{x=-\infty}^{\infty}{x \cdot f \left(x\right)}$ より、
\begin{align}
E \left(X\right)&=\sum_{x=0}^{1}{x \cdot f \left(x\right)}\\
&=0 \cdot p^0 \left(1-p\right)^1+1 \cdot p^1 \left(1-p\right)^0\\
&=p
\end{align}
$\blacksquare$
（ii）分散
2乗の期待値の定義式 $E \left(X^2\right)=\sum_{x=-\infty}^{\infty}{x^2 \cdot f \left(x\right)}$ より、
\begin{align}
E \left(X^2\right)&=\sum_{x=0}^{1}{x^2 \cdot f \left(x\right)}\\
&=0 \cdot p^0 \left(1-p\right)^1+1 \cdot p^1 \left(1-p\right)^0\\
&=p
\end{align}
分散の公式 $V \left(X\right)=E \left(X^2\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、
\begin{align}
V \left(X\right)&=p-p^2\\
&=p \left(1-p\right)
\end{align}
$\blacksquare$
導出法②：確率母関数を用いる方法
（i）期待値
ベルヌーイ分布の確率母関数の公式より、
\begin{align}
G_X \left(\theta\right)=\theta p+ \left(1-p\right)
\end{align}
確率母関数の1階微分を求めると、
\begin{align}
G_X^{ \left(1\right)} \left(\theta\right)=p
\end{align}
1次モーメントと確率母関数の関係 $G_X^{ \left(1\right)} \left(1\right)=E \left(X\right)$ より、
\begin{align}
E \left(X\right)=p\\
\end{align}
$\blacksquare$
（ii）分散
確率母関数の2階微分を求めると、
\begin{align}
G_X^{ \left(2\right)} \left(\theta\right)=0
\end{align}
2次階乗モーメントと確率母関数の関係 $G_X^{ \left(2\right)} \left(1\right)=E \left\{X \left(X-1\right)\right\}$ より、
\begin{align}
E \left\{X \left(X-1\right)\right\}=0
\end{align}
分散の公式 $V \left(X\right)=E \left\{X \left(X-1\right)\right\}+E \left(X\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、
\begin{align}
V \left(X\right)&=p-p^2\\
&=p \left(1-p\right)
\end{align}
$\blacksquare$
導出法③：モーメント母関数を用いる方法
（i）期待値
ベルヌーイ分布のモーメント母関数の公式より、
\begin{align}
M_X \left(\theta\right)=e^\theta p+ \left(1-p\right)
\end{align}
モーメント母関数の1階微分を求めると、
\begin{align}
M_X^{ \left(1\right)} \left(\theta\right)=e^\theta p
\end{align}
1次モーメントとモーメント母関数の関係 $M_X^{ \left(1\right)} \left(0\right)=E \left(X\right)$ より、
\begin{align}
E \left(X\right)=p\\
\end{align}
$\blacksquare$
（ii）分散
モーメント母関数の2階微分を求めると、
\begin{align}
M_X^{ \left(2\right)} \left(\theta\right)=e^\theta p\\
\end{align}
2次モーメントとモーメント母関数の関係 $M_X^{ \left(2\right)} \left(0\right)=E \left(X^2\right)$ より、
\begin{align}
E \left(X^2\right)=p
\end{align}
分散の公式 $V \left(X\right)=E \left(X^2\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、
\begin{align}
V \left(X\right)&=p-p^2\\
&=p \left(1-p\right)
\end{align}
$\blacksquare$
参考文献
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.100-101
- 竹村 彰通 著. 現代数理統計学. 創文社, 1991, p.25
- 稲垣 宣生 著. 数理統計学. 裳華房, 2003, p.29
- 久保川 達也 著, 新井 仁之, 小林 俊行, 斎藤 毅, 吉田 朋広 編. 現代数理統計学の基礎. 共立出版, 2017, p.30
- 黒木 学 著. 数理統計学：統計的推論の基礎. 共立出版, 2020, p.81-82
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