ガンマ分布の定義と概要

（i）すべての $x$ に関して、$f \left(x\right) \geq 0$
\begin{gather} 0 \lt \Gamma \left(\alpha\right)\Rightarrow0 \lt \frac{1}{\Gamma \left(\alpha\right)}\\ 0 \lt \beta\Rightarrow\beta^\alpha\\ 0 \lt x\Rightarrow x^{\alpha-1}\\ 0 \lt e^a\Rightarrow0 \lt e^{-\beta x} \end{gather} したがって、 \begin{align} f \left(x\right)=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x} \gt 0 \end{align} （ii）すべての確率の和が1 \begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}f \left(x\right)dx&=\int_{0}^{\infty}{\frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}dx}\\ &=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)}\int_{0}^{\infty}{x^{\alpha-1}e^{-\beta x}dx} \end{align} ここで、以下のように変数変換すると、 \begin{gather} y=\beta x\Leftrightarrow x=\frac{y}{\beta}\\ \frac{dx}{dy}=\frac{1}{\beta}\Rightarrow dx=\frac{1}{\beta}dy\\ x:0\rightarrow\infty \quad \Rightarrow \quad y:0\rightarrow\infty \end{gather} となるので、 置換積分法により、 \begin{align} \frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)}\int_{0}^{\infty}{x^{\alpha-1}e^{-\beta x}dx}&=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)}\int_{0}^{\infty}{ \left(\frac{y}{\beta}\right)^{\alpha-1}e^{-y} \cdot \frac{1}{\beta}dy}\\ &=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)} \cdot \left(\frac{1}{\beta}\right)^{\alpha-1} \cdot \frac{1}{\beta}\int_{0}^{\infty}{y^{\alpha-1}e^{-y}dy}\\ &=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)} \cdot \left(\frac{1}{\beta}\right)^\alpha\int_{0}^{\infty}{y^{\alpha-1}e^{-y}dy} \end{align} ガンマ関数の定義式 $\int_{0}^{\infty}{y^{\alpha-1}e^{-y}dy}=\Gamma \left(\alpha\right)$ より、 \begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}f \left(x\right)dx=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)} \cdot \frac{\Gamma \left(\alpha\right)}{\beta^\alpha}=1 \end{align} よって、確率密度関数の定義を満たしているため、確率密度関数である。 $\blacksquare$

累積分布関数の定義式 $F \left(x\right)=P \left(X \le x\right)$ より、 \begin{align} F \left(x\right)=\int_{0}^{x}{\frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)}t^{\alpha-1}e^{-\beta t}dt} \end{align} 確率の基本性質 $F \left(x\right)=1-P \left(x \le X\right)$ より、 \begin{align} F \left(x\right)=1-\int_{x}^{\infty}{\frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)}t^{\alpha-1}e^{-\beta t}dt} \end{align} ここで、以下のように変数変換すると、 \begin{gather} t=y+x\Leftrightarrow y=t-x\\ \frac{dy}{dt}=1\Rightarrow dy=dt\\ t:x\rightarrow\infty \quad \Rightarrow \quad y:0\rightarrow\infty \end{gather} となるので、 置換積分法により、 \begin{align} \int_{t}^{\infty}{\frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}dx}&=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)}\int_{0}^{\infty}{ \left(y+x\right)^{\alpha-1}e^{-\beta \left(y+x\right)}dy}\\ &=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)}e^{-\beta x}\int_{0}^{\infty}{ \left(y+x\right)^{\alpha-1}e^{-\beta y}dy} \end{align} 二項定理 $ \left(y+x\right)^{\alpha-1}=\sum_{k=0}^{\alpha-1}{{}_{\alpha-1}C_kx^ky^{\alpha-1-k}}$ より、 \begin{align} \int_{t}^{\infty}{\frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}dx}&=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)}e^{-\beta t}\int_{0}^{\infty}{\sum_{k=0}^{\alpha-1}{{}_{\alpha-1}C_kx^ky^{\alpha-1-k}} \cdot e^{-\beta y}dy}\\ \end{align} ガンマ関数の性質 $\Gamma \left(\alpha\right)= \left(\alpha-1\right)!$ より、 \begin{align} {}_{\alpha-1}C_k&=\frac{ \left(\alpha-1\right)!}{k! \left(\alpha-1-k\right)!}\\ &=\frac{\Gamma \left(\alpha\right)}{k!\Gamma \left(\alpha-k\right)} \end{align} したがって、 \begin{align} \int_{t}^{\infty}{\frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}dx}=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)}e^{-\beta t}\sum_{k=0}^{\alpha-1}{\frac{\Gamma \left(\alpha\right)}{k!\Gamma \left(\alpha-k\right)}t^k}\int_{0}^{\infty}{y^{\alpha-k-1} \cdot e^{-\beta y}dy} \end{align} ガンマ関数の性質 $\frac{\Gamma \left(\alpha-k\right)}{\beta^{\alpha-k}}=\int_{0}^{\infty}{y^{\alpha-k-1}e^{-y}dy}$ より、 \begin{align} \int_{t}^{\infty}{\frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}dx}=e^{-\beta t}\sum_{k=0}^{\alpha-1}{\frac{t^k}{k!} \cdot \frac{\Gamma \left(\alpha\right)}{\Gamma \left(\alpha-k\right)}} \cdot \frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)} \cdot \frac{\Gamma \left(\alpha-k\right)}{\beta^{\alpha-k}} \end{align} したがって、 \begin{align} F \left(x\right)=1-\sum_{k=0}^{\alpha-1}\frac{ \left(\beta t\right)^ke^{-\beta t}}{k!} \end{align} $\blacksquare$

ガンマ分布の確率密度関数は、 \begin{align} f \left(x\right)=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x} \end{align} 1階微分を求めると、積の微分公式より、 \begin{align} f^\prime \left(x\right)&=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)} \left\{e^{-\beta x} \cdot \frac{d}{dx} \left(x^{\alpha-1}\right)+x^{\alpha-1} \cdot \frac{d}{dx} \left(e^{-\beta x}\right)\right\}\\ &=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)} \left\{ \left(\alpha-1\right)x^{\alpha-2} \cdot e^{-\beta x}-\beta x^{\alpha-1} \cdot e^{-\beta x}\right\}\\ &=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)}x^{\alpha-2} \cdot e^{-\beta x} \left\{ \left(\alpha-1\right)-\beta x\right\} \end{align} 極値 $f^\prime \left(x\right)=0$ を求めると、 \begin{gather} \frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)}x^{\alpha-2} \cdot e^{-\beta x} \left[ \left(\alpha-1\right)-\beta x\right]=0\\ x=0\ \quad \ x=\frac{\alpha-1}{\beta} \end{gather} 増減表は、 \begin{array}{c|cccc} x & 0 & \cdots & \displaystyle\frac{\alpha-1}{\beta} & \cdots \\ \hline f^\prime \left(x\right) & 0 & + & 0 & - \\ \hline f \left(x\right) & 0 & \nearrow & f \left(\displaystyle\frac{\alpha-1}{\beta}\right) & \searrow \\ \end{array} したがって、$1 \le \alpha$ のとき、$0 \le x$ の範囲で、 \begin{align} x=\frac{\alpha-1}{\beta} \end{align} が極大、かつ最大である。 $\blacksquare$