ガンマ分布の定義と概要

（i）すべての $x$ に関して、$f\left(x\right)\ge 0$
$$\begin{array}{c}0<\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)\Rightarrow 0<\frac{1}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}\\ 0<\beta \Rightarrow {\beta }^{\alpha }\\ 0<x\Rightarrow x^{\alpha -1}\\ 0<e^a\Rightarrow 0<e^{-\beta x}\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}f\left(x\right)=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}>0\end{array}$$ （ii）すべての確率の和が1 $$\begin{array}{rl}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}dx\\ & =\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}dx\end{array}$$ ここで、以下のように変数変換すると、 $$\begin{array}{c}y=\beta x\iff x=\frac{y}{\beta }\\ \frac{dx}{dy}=\frac{1}{\beta }\Rightarrow dx=\frac{1}{\beta }dy\\ x:0\to \mathrm{\infty }\Rightarrow y:0\to \mathrm{\infty }\end{array}$$ となるので、 置換積分法により、 $$\begin{array}{rl}\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}dx& =\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{y}{\beta }\right)}^{\alpha -1}{e}^{-y}\cdot \frac{1}{\beta }dy\\ & =\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}\cdot {\left(\frac{1}{\beta }\right)}^{\alpha -1}\cdot \frac{1}{\beta }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{y}^{\alpha -1}{e}^{-y}dy\\ & =\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}\cdot {\left(\frac{1}{\beta }\right)}^{\alpha }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{y}^{\alpha -1}{e}^{-y}dy\end{array}$$ ガンマ関数の定義式 ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{y}^{\alpha -1}{e}^{-y}dy=\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)$ より、 $$\begin{array}{r}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{{\beta }^{\alpha }}=1\end{array}$$ よって、確率密度関数の定義を満たしているため、確率密度関数である。 $◼$

累積分布関数の定義式 $F\left(x\right)=P(X\le x)$ より、 $$\begin{array}{r}F\left(x\right)={\int }_0^x\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{t}^{\alpha -1}{e}^{-\beta t}dt\end{array}$$ 確率の基本性質 $F\left(x\right)=1-P(x\le X)$ より、 $$\begin{array}{r}F\left(x\right)=1-{\int }_x^{\mathrm{\infty }}\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{t}^{\alpha -1}{e}^{-\beta t}dt\end{array}$$ ここで、以下のように変数変換すると、 $$\begin{array}{c}t=y+x\iff y=t-x\\ \frac{dy}{dt}=1\Rightarrow dy=dt\\ t:x\to \mathrm{\infty }\Rightarrow y:0\to \mathrm{\infty }\end{array}$$ となるので、 置換積分法により、 $$\begin{array}{rl}{\int }_t^{\mathrm{\infty }}\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}dx& =\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{(y+x)}^{\alpha -1}{e}^{-\beta (y+x)}dy\\ & =\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{e}^{-\beta x}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{(y+x)}^{\alpha -1}{e}^{-\beta y}dy\end{array}$$ 二項定理 ${(y+x)}^{\alpha -1}=\sum _{k=0}^{\alpha -1}{}_{\alpha -1}{C}_k{x}^k{y}^{\alpha -1-k}$ より、 $$\begin{array}{rl}{\int }_t^{\mathrm{\infty }}\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}dx& =\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{e}^{-\beta t}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^{\alpha -1}{}_{\alpha -1}{C}_k{x}^k{y}^{\alpha -1-k}\cdot e^{-\beta y}dy\end{array}$$ ガンマ関数の性質 $\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)=(\alpha -1)!$ より、 $$\begin{array}{rl}{}_{\alpha -1}{C}_k& =\frac{(\alpha -1)!}{k!(\alpha -1-k)!}\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{k!\mathrm{\Gamma }(\alpha -k)}\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}{\int }_t^{\mathrm{\infty }}\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}dx=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{e}^{-\beta t}\sum _{k=0}^{\alpha -1}\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{k!\mathrm{\Gamma }(\alpha -k)}{t}^k{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{y}^{\alpha -k-1}\cdot e^{-\beta y}dy\end{array}$$ ガンマ関数の性質 $\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha -k)}{{\beta }^{\alpha -k}}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{y}^{\alpha -k-1}{e}^{-y}dy$ より、 $$\begin{array}{r}{\int }_t^{\mathrm{\infty }}\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}dx=e^{-\beta t}\sum _{k=0}^{\alpha -1}\frac{t^k}{k!}\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{\mathrm{\Gamma }(\alpha -k)}\cdot \frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha -k)}{{\beta }^{\alpha -k}}\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}F\left(x\right)=1-\sum _{k=0}^{\alpha -1}\frac{{\left(\beta t\right)}^k{e}^{-\beta t}}{k!}\end{array}$$ $◼$

ガンマ分布の確率密度関数は、 $$\begin{array}{r}f\left(x\right)=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}\end{array}$$ 1階微分を求めると、積の微分公式より、 $$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }\left(x\right)& =\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}\{e^{-\beta x}\cdot \frac{d}{dx}\left(x^{\alpha -1}\right)+x^{\alpha -1}\cdot \frac{d}{dx}\left(e^{-\beta x}\right)\}\\ & =\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}\{(\alpha -1)x^{\alpha -2}\cdot e^{-\beta x}-\beta x^{\alpha -1}\cdot e^{-\beta x}\}\\ & =\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{x}^{\alpha -2}\cdot e^{-\beta x}\{(\alpha -1)-\beta x\}\end{array}$$ 極値 $f^{\prime }\left(x\right)=0$ を求めると、 $$\begin{array}{c}\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{x}^{\alpha -2}\cdot e^{-\beta x}[(\alpha -1)-\beta x]=0\\ x=0x=\frac{\alpha -1}{\beta }\end{array}$$ 増減表は、 $$\begin{array}{ccccc}x& 0& \cdots & {\displaystyle \frac{\alpha -1}{\beta }}& \cdots \\ f^{\prime }\left(x\right)& 0& +& 0& -\\ f\left(x\right)& 0& \nearrow & f\left({\displaystyle \frac{\alpha -1}{\beta }}\right)& \searrow \end{array}$$ したがって、$1\le \alpha$ のとき、$0\le x$ の範囲で、 $$\begin{array}{r}x=\frac{\alpha -1}{\beta }\end{array}$$ が極大、かつ最大である。 $◼$