超幾何分布の期待値・分散の導出

（i）期待値
期待値の定義式 $E\left(X\right)=\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{r}E\left(X\right)=\sum _{x=0}^{n}x\cdot \frac{{}_k{C}_x\cdot {}_{N-k}{C}_{n-x}}{{}_N{C}_n}\end{array}$$ $x=0$ の項を外に出すと、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =0+\sum _{x=1}^{n}x\cdot \frac{k!}{x!(k-x)!}\cdot \frac{(N-k)!}{(n-x)!\{(N-k)-(n-x)\}!}\cdot \frac{n!(N-n)!}{N!}\\ & =\sum _{x=1}^{n}x\cdot \frac{k!}{x!(k-x)!}\cdot \frac{(N-k)!}{(n-x)!\{(N-k)-(n-x)\}!}\cdot \frac{n!(N-n)!}{N!}\end{array}$$ この式を変形すると、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =\sum _{x=1}^n\frac{k(k-1)!}{(x-1)!(k-x)!}\cdot \frac{(N-k)!}{(n-x)!\{(N-k)-(n-x)\}!}\cdot \frac{n(n-1)!(N-n)!}{N(N-1)!}\\ \text{(1)}& & =n\cdot \frac{k}{N}\sum _{x=1}^n\frac{(k-1)!}{(x-1)!\{(k-1)-(x-1)\}!}\cdot \frac{\{(N-1)-(k-1)\}!}{\{(n-1)-(x-1)\}![\{(N-1)-(k-1)\}-\{(n-1)-(x-1)\}]!}\cdot \frac{(n-1)!\{(N-1)-(n-1)\}!}{(N-1)!}\end{array}$$ ここで、以下のように変数変換すると、 $$\begin{array}{c}y=x-1\\ M=N-1\\ m=n-1\\ l=k-1\end{array}$$ $$\begin{array}{r}x:1\to n\Rightarrow y:0\to m\end{array}$$ となるので、 式 $(1)$ は、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =n\cdot \frac{k}{N}\sum _{y=0}^m\frac{l!}{y!(l-y)!}\cdot \frac{(M-l)!}{(m-y)!\{(M-l)-(m-y)\}!}\cdot \frac{m!(M-m)!}{M!}\\ & =\frac{nk}{N}\sum _{y=0}^m\frac{{}_l{C}_y\cdot {}_{M-l}{C}_{m-y}}{{}_M{C}_m}\end{array}$$ ヴァンデルモンドの恒等式 $\sum _{y=0}^m{}_l{C}_y\cdot {}_{M-l}{C}_{m-y}={}_M{C}_m$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =n\cdot \frac{k}{N}\cdot \frac{{}_M{C}_m}{{}_M{C}_m}\\ & =n\cdot \frac{k}{N}\end{array}$$ $◼$

（ii）分散
2次階乗モーメントの定義式 $E\left\{X(X-1)\right\}=\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}x(x-1)\cdot f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left\{X(X-1)\right\}& =\sum _{x=0}^{n}x(x-1)\cdot \frac{{}_k{C}_x\cdot {}_{N-k}{C}_{n-x}}{{}_N{C}_n}\\ & =\sum _{x=0}^{n}x(x-1)\cdot \frac{k!}{x!(k-x)!}\cdot \frac{(N-k)!}{(n-x)!\{(N-k)-(n-x)\}!}\cdot \frac{n!(N-n)!}{N!}\end{array}$$ $x=0,x=1$ の項を外に出すと、 $$\begin{array}{rl}E\left\{X(X-1)\right\}& =0+0+\sum _{x=2}^n\frac{k!}{(x-2)!(k-x)!}\cdot \frac{(N-k)!}{(n-x)!\{(N-k)-(n-x)\}!}\cdot \frac{n!(N-n)!}{N!}\\ & =\sum _{x=2}^n\frac{k!}{(x-2)!(k-x)!}\cdot \frac{(N-k)!}{(n-x)!\{(N-k)-(n-x)\}!}\cdot \frac{n!(N-n)!}{N!}\end{array}$$ この式を変形すると、 $$\begin{array}{rl}E\left\{X(X-1)\right\}& =\sum _{x=2}^n\frac{k(k-1)(k-2)!}{(x-2)!\{(k-2)-(x-2)\}!}\cdot \frac{\{(N-2)-(k-2)\}!}{\{(n-2)-(x-2)\}![\{(N-2)-(k-2)\}-\{(n-2)-(x-2)\}]!}\cdot \frac{n(n-1)(n-2)!(N-n)!}{N(N-1)(N-2)!}\\ \text{(2)}& & =\frac{k(k-1)n(n-1)}{N(N-1)}\sum _{x=2}^n\frac{(k-2)!}{(x-2)!\{(k-2)-(x-2)\}!}\cdot \frac{\{(N-2)-(k-2)\}!}{\{(n-2)-(x-2)\}![\{(N-2)-(k-2)\}-\{(n-2)-(x-2)\}]!}\cdot \frac{(n-2)!\{(N-2)-(n-2)\}!}{(N-2)!}\end{array}$$ ここで、以下のように変数変換すると、 $$\begin{array}{c}y=x-2\\ M=N-2\\ m=n-2\\ l=k-2\end{array}$$ $$\begin{array}{r}x:2\to n\Rightarrow y:0\to m\end{array}$$ となるので、 式 $(2)$ は、 $$\begin{array}{rl}E\left\{X(X-1)\right\}& =\frac{k(k-1)n(n-1)}{N(N-1)}\sum _{y=0}^m\frac{l!}{y!(l-y)!}\cdot \frac{(M-l)!}{(m-y)!\{(M-l)-(m-y)\}!}\cdot \frac{m!(M-m)!}{M!}\\ & =\frac{k(k-1)n(n-1)}{N(N-1)}\sum _{z=0}^n\frac{{}_l{C}_y\cdot {}_{M-l}{C}_{m-y}}{{}_M{C}_m}\end{array}$$ ヴァンデルモンドの恒等式 $\sum _{y=0}^m{}_l{C}_y\cdot {}_{M-l}{C}_{m-y}={}_M{C}_m$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left\{X(X-1)\right\}& =\frac{k(k-1)n(n-1)}{N(N-1)}\cdot \frac{{}_M{C}_m}{{}_M{C}_m}\\ & =\frac{k(k-1)n(n-1)}{N(N-1)}\end{array}$$ 階乗モーメントを用いた分散の公式 $V\left(X\right)=E\left\{X(X-1)\right\}+E\left(X\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(X\right)& =\frac{k(k-1)n(n-1)}{N(N-1)}+\frac{nk}{N}-\frac{n^2{k}^2}{N^2}\\ & =n\cdot \frac{k}{N}\{\frac{(k-1)(n-1)}{(N-1)}+1-\frac{nk}{N}\}\\ & =n\cdot \frac{k}{N}\cdot \frac{N(k-1)(n-1)+N(N-1)-nk(N-1)}{N(N-1)}\\ & =n\cdot \frac{k}{N}\cdot \frac{nNk-Nk-nN+N+N^2-N-nNk+nk}{N(N-1)}\\ & =n\cdot \frac{k}{N}\cdot \frac{-Nk-nN+N^2+nk}{N(N-1)}\\ & =n\cdot \frac{k}{N}\cdot \frac{N(N-k)-n(N-k)}{N(N-1)}\\ & =n\cdot \frac{k}{N}\cdot \frac{(N-k)(N-n)}{N(N-1)}\\ & =n\cdot \frac{k}{N}\cdot \frac{N-k}{N}\cdot \frac{N-n}{N-1}\end{array}$$ $◼$

超幾何分布の確率変数 $Y$ を互いに独立でないベルヌーイ分布に従う確率変数 $X_i(i=1,2,\cdots ,n)$ の和と考えると、 $$\begin{array}{r}Y=X_1+X_2+\cdots +X_n\end{array}$$ それぞれの試行結果の分散と共分散は、 $$\begin{array}{c}E\left(X_i\right)=\frac{k}{N}\\ V\left(X_i\right)=\frac{k}{N}\cdot \frac{N-k}{N}\\ \mathrm{Cov}(X_i,X_j)=-\frac{k(N-k)}{N^2(N-1)}\end{array}$$ （i）期待値
期待値の性質 $E\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}E\left(X_i\right)$ より、 $$\begin{array}{r}E\left(Y\right)=E\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^n\frac{k}{N}=n\cdot \frac{k}{N}\end{array}$$ （ii）分散
和の分散の一般公式より、 $$\begin{array}{r}V\left(Y\right)=\sum _{i=1}^{n}V\left(X_i\right)+\sum _{j\ne i}\sum _{i=1}^n\mathrm{Cov}(X_i,X_j)\end{array}$$ ここで、共分散について、$i\ne j$ となる $(i,j)$ の組み合わせは、 $i$ の選び方が $n$ 通り
$j$ の選び方が $n-1$ 通り あるので、 全部で $$\begin{array}{r}n(n-1)\end{array}$$ 通りある。 したがって、 $$\begin{array}{rl}V\left(Y\right)& =n\cdot \frac{k}{N}\cdot \frac{N-k}{N}+n(n-1)(-\frac{k}{N}\cdot \frac{N-k}{N}\cdot \frac{1}{N-1})\\ & =n\cdot \frac{k}{N}\cdot \frac{N-k}{N}(1-\frac{n-1}{N-1})\\ & =n\cdot \frac{k}{N}\cdot \frac{N-k}{N}\cdot \frac{N-1-n+1}{N-1}\\ & =n\cdot \frac{k}{N}\cdot \frac{N-k}{N}\cdot \frac{N-n}{N-1}\end{array}$$ $◼$