超幾何分布の期待値・分散の導出

（i）期待値
期待値の定義式 $E \left(X\right)=\sum_{x=-\infty}^{\infty}{x \cdot f \left(x\right)}$ より、 \begin{align} E \left(X\right)=\sum_{x=0}^{n}{x \cdot \frac{{}_{k}C_x \cdot {}_{N-k}C_{n-x}}{{}_{N}C_n}} \end{align} $x=0$ の項を外に出すと、 \begin{align} E \left(X\right)&=0+\sum_{x=1}^{n}{x \cdot \frac{k!}{x! \left(k-x\right)!} \cdot \frac{ \left(N-k\right)!}{ \left(n-x\right)! \left\{ \left(N-k\right)- \left(n-x\right)\right\}!} \cdot \frac{n! \left(N-n\right)!}{N!}}\\ &=\sum_{x=1}^{n}{x \cdot \frac{k!}{x! \left(k-x\right)!} \cdot \frac{ \left(N-k\right)!}{ \left(n-x\right)! \left\{ \left(N-k\right)- \left(n-x\right)\right\}!} \cdot \frac{n! \left(N-n\right)!}{N!}} \end{align} この式を変形すると、 \begin{align} E \left(X\right)&=\sum_{x=1}^{n}{\frac{k \left(k-1\right)!}{ \left(x-1\right)! \left(k-x\right)!} \cdot \frac{ \left(N-k\right)!}{ \left(n-x\right)! \left\{ \left(N-k\right)- \left(n-x\right)\right\}!} \cdot \frac{n \left(n-1\right)! \left(N-n\right)!}{N \left(N-1\right)!}}\\ &=n \cdot \frac{k}{N}\sum_{x=1}^{n}{\frac{ \left(k-1\right)!}{ \left(x-1\right)! \left\{ \left(k-1\right)- \left(x-1\right)\right\}!} \cdot \frac{ \left\{ \left(N-1\right)- \left(k-1\right)\right\}!}{ \left\{ \left(n-1\right)- \left(x-1\right)\right\}! \left[ \left\{ \left(N-1\right)- \left(k-1\right)\right\}- \left\{ \left(n-1\right)- \left(x-1\right)\right\}\right]!} \cdot \frac{ \left(n-1\right)! \left\{ \left(N-1\right)- \left(n-1\right)\right\}!}{ \left(N-1\right)!}}\tag{1} \end{align} ここで、以下のように変数変換すると、 \begin{gather} y=x-1\\ M=N-1\\ m=n-1\\ l=k-1\\ \end{gather} \begin{align} x:1\rightarrow n \quad \Rightarrow \quad y:0\rightarrow m \end{align} となるので、 式 $(1)$ は、 \begin{align} E \left(X\right)&=n \cdot \frac{k}{N}\sum_{y=0}^{m}{\frac{l!}{y! \left(l-y\right)!} \cdot \frac{ \left(M-l\right)!}{ \left(m-y\right)! \left\{ \left(M-l\right)- \left(m-y\right)\right\}!} \cdot \frac{m! \left(M-m\right)!}{M!}}\\ &=\frac{nk}{N}\sum_{y=0}^{m}\frac{{}_{l}C_y \cdot {}_{M-l}C_{m-y}}{{}_{M}C_m} \end{align} ヴァンデルモンドの恒等式 $\sum_{y=0}^{m}{{}_{l}C_y \cdot {}_{M-l}C_{m-y}}={}_{M}C_m$ より、 \begin{align} E \left(X\right)&=n \cdot \frac{k}{N} \cdot \frac{{}_{M}C_m}{{}_{M}C_m}\\ &=n \cdot \frac{k}{N} \end{align} $\blacksquare$

（ii）分散
2次階乗モーメントの定義式 $E \left\{X \left(X-1\right)\right\}=\sum_{x=0}^{\infty}{x \left(x-1\right) \cdot f \left(x\right)}$ より、 \begin{align} E \left\{X \left(X-1\right)\right\}&=\sum_{x=0}^{n}{x \left(x-1\right) \cdot \frac{{}_{k}C_x \cdot {}_{N-k}C_{n-x}}{{}_{N}C_n}}\\ &=\sum_{x=0}^{n}{x \left(x-1\right) \cdot \frac{k!}{x! \left(k-x\right)!} \cdot \frac{ \left(N-k\right)!}{ \left(n-x\right)! \left\{ \left(N-k\right)- \left(n-x\right)\right\}!} \cdot \frac{n! \left(N-n\right)!}{N!}} \end{align} $x=0,x=1$ の項を外に出すと、 \begin{align} E \left\{X \left(X-1\right)\right\}&=0+0+\sum_{x=2}^{n}{\frac{k!}{ \left(x-2\right)! \left(k-x\right)!} \cdot \frac{ \left(N-k\right)!}{ \left(n-x\right)! \left\{ \left(N-k\right)- \left(n-x\right)\right\}!} \cdot \frac{n! \left(N-n\right)!}{N!}}\\ &=\sum_{x=2}^{n}{\frac{k!}{ \left(x-2\right)! \left(k-x\right)!} \cdot \frac{ \left(N-k\right)!}{ \left(n-x\right)! \left\{ \left(N-k\right)- \left(n-x\right)\right\}!} \cdot \frac{n! \left(N-n\right)!}{N!}} \end{align} この式を変形すると、 \begin{align} E \left\{X \left(X-1\right)\right\}&=\sum_{x=2}^{n}{\frac{k \left(k-1\right) \left(k-2\right)!}{ \left(x-2\right)! \left\{ \left(k-2\right)- \left(x-2\right)\right\}!} \cdot \frac{ \left\{ \left(N-2\right)- \left(k-2\right)\right\}!}{ \left\{ \left(n-2\right)- \left(x-2\right)\right\}! \left[ \left\{ \left(N-2\right)- \left(k-2\right)\right\}- \left\{ \left(n-2\right)- \left(x-2\right)\right\}\right]!} \cdot \frac{n \left(n-1\right) \left(n-2\right)! \left(N-n\right)!}{N \left(N-1\right) \left(N-2\right)!}}\\ &=\frac{k \left(k-1\right)n \left(n-1\right)}{N \left(N-1\right)}\sum_{x=2}^{n}{\frac{ \left(k-2\right)!}{ \left(x-2\right)! \left\{ \left(k-2\right)- \left(x-2\right)\right\}!} \cdot \frac{ \left\{ \left(N-2\right)- \left(k-2\right)\right\}!}{ \left\{ \left(n-2\right)- \left(x-2\right)\right\}! \left[ \left\{ \left(N-2\right)- \left(k-2\right)\right\}- \left\{ \left(n-2\right)- \left(x-2\right)\right\}\right]!} \cdot \frac{ \left(n-2\right)! \left\{ \left(N-2\right)- \left(n-2\right)\right\}!}{ \left(N-2\right)!}}\tag{2} \end{align} ここで、以下のように変数変換すると、 \begin{gather} y=x-2\\ M=N-2\\ m=n-2\\ l=k-2 \end{gather} \begin{align} x:2\rightarrow n \quad \Rightarrow \quad y:0\rightarrow m \end{align} となるので、 式 $(2)$ は、 \begin{align} E \left\{X \left(X-1\right)\right\}&=\frac{k \left(k-1\right)n \left(n-1\right)}{N \left(N-1\right)}\sum_{y=0}^{m}{\frac{l!}{y! \left(l-y\right)!} \cdot \frac{ \left(M-l\right)!}{ \left(m-y\right)! \left\{ \left(M-l\right)- \left(m-y\right)\right\}!} \cdot \frac{m! \left(M-m\right)!}{M!}}\\ &=\frac{k \left(k-1\right)n \left(n-1\right)}{N \left(N-1\right)}\sum_{z=0}^{n}\frac{{}_{l}C_y \cdot {}_{M-l}C_{m-y}}{{}_{M}C_m} \end{align} ヴァンデルモンドの恒等式 $\sum_{y=0}^{m}{{}_{l}C_y \cdot {}_{M-l}C_{m-y}}={}_{M}C_m$ より、 \begin{align} E \left\{X \left(X-1\right)\right\}&=\frac{k \left(k-1\right)n \left(n-1\right)}{N \left(N-1\right)} \cdot \frac{{}_{M}C_m}{{}_{M}C_m}\\ &=\frac{k \left(k-1\right)n \left(n-1\right)}{N \left(N-1\right)} \end{align} 階乗モーメントを用いた分散の公式 $V \left(X\right)=E \left\{X \left(X-1\right)\right\}+E \left(X\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、 \begin{align} V \left(X\right)&=\frac{k \left(k-1\right)n \left(n-1\right)}{N \left(N-1\right)}+\frac{nk}{N}-\frac{n^2k^2}{N^2}\\ &=n \cdot \frac{k}{N} \left\{\frac{ \left(k-1\right) \left(n-1\right)}{ \left(N-1\right)}+1-\frac{nk}{N}\right\}\\ &=n \cdot \frac{k}{N} \cdot \frac{N \left(k-1\right) \left(n-1\right)+N \left(N-1\right)-nk \left(N-1\right)}{N \left(N-1\right)}\\ &=n \cdot \frac{k}{N} \cdot \frac{nNk-Nk-nN+N+N^2-N-nNk+nk}{N \left(N-1\right)}\\ &=n \cdot \frac{k}{N} \cdot \frac{-Nk-nN+N^2+nk}{N \left(N-1\right)}\\ &=n \cdot \frac{k}{N} \cdot \frac{N \left(N-k\right)-n \left(N-k\right)}{N \left(N-1\right)}\\ &=n \cdot \frac{k}{N} \cdot \frac{ \left(N-k\right) \left(N-n\right)}{N \left(N-1\right)}\\ &=n \cdot \frac{k}{N} \cdot \frac{N-k}{N} \cdot \frac{N-n}{N-1} \end{align} $\blacksquare$

超幾何分布の確率変数 $Y$ を互いに独立でないベルヌーイ分布に従う確率変数 $X_i\ \left(i=1,2, \cdots ,n\right)$ の和と考えると、 \begin{align} Y=X_1+X_2+ \cdots +X_n \end{align} それぞれの試行結果の分散と共分散は、 \begin{gather} E \left(X_i\right)=\frac{k}{N}\\ V \left(X_i\right)=\frac{k}{N} \cdot \frac{N-k}{N}\\ \mathrm{Cov} \left(X_i,X_j\right)=-\frac{k \left(N-k\right)}{N^2 \left(N-1\right)}\\ \end{gather} （i）期待値
期待値の性質 $E \left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\sum_{i=1}^{n}E \left(X_i\right)$ より、 \begin{align} E \left(Y\right)=E \left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\sum_{i=1}^{n}\frac{k}{N}=n \cdot \frac{k}{N} \end{align} （ii）分散
和の分散の一般公式より、 \begin{align} V \left(Y\right)=\sum_{i=1}^{n}V \left(X_i\right)+\sum_{j \neq i}\sum_{i=1}^{n}{\mathrm{Cov} \left(X_i,X_j\right)}\\ \end{align} ここで、共分散について、$i \neq j$ となる $ \left(i,j\right)$ の組み合わせは、 $i$ の選び方が $n$ 通り
$j$ の選び方が $n-1$ 通り あるので、 全部で \begin{align} n \left(n-1\right) \end{align} 通りある。 したがって、 \begin{align} V \left(Y\right)&=n \cdot \frac{k}{N} \cdot \frac{N-k}{N}+n \left(n-1\right) \left(-\frac{k}{N} \cdot \frac{N-k}{N} \cdot \frac{1}{N-1}\right)\\ &=n \cdot \frac{k}{N} \cdot \frac{N-k}{N} \left(1-\frac{n-1}{N-1}\right)\\ &=n \cdot \frac{k}{N} \cdot \frac{N-k}{N} \cdot \frac{N-1-n+1}{N-1}\\ &=n \cdot \frac{k}{N} \cdot \frac{N-k}{N} \cdot \frac{N-n}{N-1} \end{align} $\blacksquare$