ポアソン分布の和に関する条件付き分布（＝二項分布）

ポアソン分布の再生性より、 $$\begin{array}{r}Z\sim \mathrm{Po}({\lambda }_1+{\lambda }_2)\end{array}$$ 条件付き確率の定義式 $P\left(x\right|z)=\frac{P(Z=x,Z=z)}{P(Z=z)}$ より、 $$\begin{array}{c}P\left(x\right|z)=\frac{P(Z=x,Y=z-x)}{P(Z=z)}\\ g\left(x\right|z)=\frac{f(x,z-x)}{k\left(z\right)}\end{array}$$ 確率関数の独立性の定義 $f(x,y)=g\left(x\right)\cdot h\left(y\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}g\left(x\right|z)& =\frac{{\lambda }_1^x{e}^{-{\lambda }_1}}{x!}\cdot \frac{{\lambda }_2^{z-x}{e}^{-{\lambda }_2}}{(z-x)!}\cdot \frac{z!}{{({\lambda }_1+{\lambda }_2)}^z{e}^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)}}\\ & =\frac{z!}{x!(z-x)!}\cdot \frac{e^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)}}{e^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)}}\cdot \frac{{\lambda }_1^x{\lambda }_2^{z-x}}{{({\lambda }_1+{\lambda }_2)}^z}\\ & ={}_z{C}_x\cdot {\left(\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_1+{\lambda }_2}\right)}^x\cdot {\left(\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1+{\lambda }_2}\right)}^{z-x}\\ & ={}_z{C}_x\cdot {\left(\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_1+{\lambda }_2}\right)}^x\cdot {(1-\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_1+{\lambda }_2})}^{z-x}\end{array}$$ これは、二項分布の確率関数 $$\begin{array}{r}f\left(x\right)={}_n{C}_x{p}^x{(1-p)}^{n-x}\end{array}$$ において、 $$\begin{array}{r}n\to zp=\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_1+{\lambda }_2}\end{array}$$ と置き換えたものとみなすことができる。 したがって、確率関数の一意性により、確率変数 $X$ の条件付き分布は、二項分布 $$\begin{array}{r}X|Z\sim \mathrm{B}(z,\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_1+{\lambda }_2})\end{array}$$ となる。 $◼$