ポアソン分布の和に関する条件付き分布（＝二項分布）

ポアソン分布の再生性より、 \begin{align} Z \sim \mathrm{Po} \left(\lambda_1+\lambda_2\right) \end{align} 条件付き確率の定義式 $P \left(x\middle| z\right)=\frac{P \left(Z=x,Z=z\right)}{P \left(Z=z\right)}$ より、 \begin{gather} P \left(x\middle| z\right)=\frac{P \left(Z=x,Y=z-x\right)}{P \left(Z=z\right)}\\ g \left(x\middle| z\right)=\frac{f \left(x,z-x\right)}{k \left(z\right)} \end{gather} 確率関数の独立性の定義 $f \left(x,y\right)=g \left(x\right) \cdot h \left(y\right)$ より、 \begin{align} g \left(x\middle| z\right)&=\frac{\lambda_1^xe^{-\lambda_1}}{x!} \cdot \frac{\lambda_2^{z-x}e^{-\lambda_2}}{ \left(z-x\right)!} \cdot \frac{z!}{ \left(\lambda_1+\lambda_2\right)^ze^{- \left(\lambda_1+\lambda_2\right)}}\\ &=\frac{z!}{x! \left(z-x\right)!} \cdot \frac{e^{- \left(\lambda_1+\lambda_2\right)}}{e^{- \left(\lambda_1+\lambda_2\right)}} \cdot \frac{\lambda_1^x\lambda_2^{z-x}}{ \left(\lambda_1+\lambda_2\right)^z}\\ &={}_{z}C_x \cdot \left(\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\right)^x \cdot \left(\frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}\right)^{z-x}\\ &={}_{z}C_x \cdot \left(\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\right)^x \cdot \left(1-\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\right)^{z-x} \end{align} これは、二項分布の確率関数 \begin{align} f \left(x\right)={}_{n}C_xp^x \left(1-p\right)^{n-x} \end{align} において、 \begin{align} n\rightarrow z \quad p=\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2} \end{align} と置き換えたものとみなすことができる。 したがって、確率関数の一意性により、確率変数 $X$ の条件付き分布は、二項分布 \begin{align} \left.X\right|Z \sim \mathrm{B} \left(z,\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\right) \end{align} となる。 $\blacksquare$