本稿では、全体の数と関心のある性質をもつ個体数が十分大きいとき、超幾何分布の二項近似が成り立つことを証明しています。
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【命題】超幾何分布の二項近似
【命題】
超幾何分布の二項近似
Binomial Approximation to the Hypergeometric Distribution of Hypergeometric Distribution
確率変数 $X$ が超幾何分布 \begin{align} X \sim \mathrm{HG} \left(N,k,n\right) \end{align} に従い、 全個体数 $N$ と性質 $A$ をもつ個体数 $k$ が十分に大きい、すなわち \begin{align} N\rightarrow\infty \quad k\rightarrow\infty \end{align} のとき、 \begin{align} p=\frac{k}{N} \end{align} が一定値を取るとの仮定の下で、 確率変数 $X$ は近似的に二項分布 \begin{align} \mathrm{B} \left(n,p\right) \end{align} に従う。
証明
超幾何分布の確率関数を変形すると、 \begin{align} f \left(x\right)&=\frac{k \left(k-1\right) \cdots \left(k-x+1\right)}{x!} \cdot \frac{ \left(N-k\right) \left(N-k-1\right) \cdots \left(N-k-n+x+1\right)}{ \left(n-x\right)!} \cdot \frac{n! \left(N-n\right)!}{N!}\\ &=\frac{n!}{x! \left(n-x\right)!} \cdot \frac{k \left(k-1\right) \cdots \left(k-x+1\right)}{N \left(N-1\right) \cdots \left(N-x+1\right)} \cdot \frac{ \left(N-k\right) \cdots \left(N-k-n+x+1\right)}{ \left(N-x\right) \cdots \left(N-n+1\right)}\\ &={}_{n}C_x \cdot \frac{k}{N} \cdot \frac{k-1}{N-1} \cdots \frac{k-x+1}{N-x+1} \cdot \left(\frac{N}{N-x}-\frac{k}{N-x}\right) \cdots \left(\frac{N}{N-n+1}-\frac{k+n-x-1}{N-n+1}\right)\\ \end{align} $N\rightarrow\infty,k\rightarrow\infty$ のときの極限を取ると、 \begin{align} \lim_{\begin{matrix}N\rightarrow\infty\\k\rightarrow\infty\\\end{matrix}}{f \left(x\right)}&={}_{n}C_x \cdot \frac{k}{N} \cdot \frac{k}{N} \cdots \frac{k}{N} \cdot \left(1-\frac{k}{N}\right) \cdots \left(1-\frac{k}{N}\right)\\ &={}_{n}C_x \cdot p \cdot p \cdot \cdots p \cdot \left(1-p\right) \cdots \left(1-p\right)\\ &={}_{n}C_xp^x \left(1-p\right)^{n-x} \end{align} $\blacksquare$
参考文献
- 小寺 平治 著. 数理統計：明解演習. 共立出版, 1986, p.67 例題6
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.110
- 久保川 達也 著, 新井 仁之, 小林 俊行, 斎藤 毅, 吉田 朋広 編. 現代数理統計学の基礎. 共立出版, 2017, p.51 演習問題 問4
- 黒木 学 著. 数理統計学：統計的推論の基礎. 共立出版, 2020, p.91-92
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