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超幾何分布の二項近似の証明

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【2023年3月4週】 【B000】数理統計学 【B030】離散型の確率分布

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本稿では、全体の数と関心のある性質をもつ個体数が十分大きいとき、超幾何分布の二項近似が成り立つことを証明しています。

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【命題】超幾何分布の二項近似

【命題】
超幾何分布の二項近似
Binomial Approximation to the Hypergeometric Distribution of Hypergeometric Distribution

確率変数 X が超幾何分布 X∼HG(N,k,n) に従い、 全個体数 N と性質 A をもつ個体数 k が十分に大きい、すなわち N→∞k→∞ のとき、 p=kN が一定値を取るとの仮定の下で、 確率変数 X は近似的に二項分布 B(n,p) に従う。

 

証明

証明

超幾何分布の確率関数を変形すると、 f(x)=k(k−1)⋯(k−x+1)x!⋅(N−k)(N−k−1)⋯(N−k−n+x+1)(n−x)!⋅n!(N−n)!N!=n!x!(n−x)!⋅k(k−1)⋯(k−x+1)N(N−1)⋯(N−x+1)⋅(N−k)⋯(N−k−n+x+1)(N−x)⋯(N−n+1)=nCx⋅kN⋅k−1N−1⋯k−x+1N−x+1⋅(NN−x−kN−x)⋯(NN−n+1−k+n−x−1N−n+1) N→∞,k→∞ のときの極限を取ると、 limN→∞k→∞f(x)=nCx⋅kN⋅kN⋯kN⋅(1−kN)⋯(1−kN)=nCx⋅p⋅p⋅⋯p⋅(1−p)⋯(1−p)=nCxpx(1−p)n−x ◼

 

参考文献

  • 小寺 平治 著. 数理統計：明解演習. 共立出版, 1986, p.67 例題6
  • 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.110
  • 久保川 達也 著, 新井 仁之, 小林 俊行, 斎藤 毅, 吉田 朋広 編. 現代数理統計学の基礎. 共立出版, 2017, p.51 演習問題 問4
  • 黒木 学 著. 数理統計学：統計的推論の基礎. 共立出版, 2020, p.91-92

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大学時代に読書の面白さに気づいて以来、読書や勉強を通じて、興味をもったことや新しいことを学ぶことが生きる原動力。そんな人間が、その時々に学んだことを備忘録兼人生の軌跡として記録しているブログです。

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