中央値の性質の証明

期待値の定義式 $E\left(X\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)dx$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left[|X-m|\right]& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^m(-x+m)\cdot f\left(x\right)dx+{\int }_m^{\mathrm{\infty }}(x-m)\cdot f\left(x\right)dx\\ & =-{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{m}x\cdot f\left(x\right)dx+m{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{m}f\left(x\right)dx+{\int }_m^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)dx-m{\int }_m^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx\\ & =-{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{m}x\cdot f\left(x\right)dx+{\int }_m^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)dx+m[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{m}f\left(x\right)dx-{\int }_m^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx]\end{array}$$ 中央値の定義 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{m}f\left(x\right)dx={\int }_m^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx=\frac{1}{2}$ より、 $$\begin{array}{}\text{(1)}& E\left[|X-m|\right]=-{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{m}x\cdot f\left(x\right)dx+{\int }_m^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)dx\end{array}$$

（i）$a<m$ のとき
期待値の定義式 $E\left(X\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)dx$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left[|X-a|\right]& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^a(-x+a)\cdot f\left(x\right)dx+{\int }_a^{\mathrm{\infty }}(x-a)\cdot f\left(x\right)dx\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^m(-x+a)\cdot f\left(x\right)dx-{\int }_a^m(-x+a)\cdot f\left(x\right)dx+{\int }_a^m(x-a)\cdot f\left(x\right)dx+{\int }_m^{\mathrm{\infty }}(x-a)\cdot f\left(x\right)dx\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^m(-x+a)\cdot f\left(x\right)dx+{\int }_m^{\mathrm{\infty }}(x-a)\cdot f\left(x\right)dx+2{\int }_a^m(x-a)\cdot f\left(x\right)dx\\ & =-{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{m}x\cdot f\left(x\right)dx+{\int }_m^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)dx+2{\int }_a^m(x-a)\cdot f\left(x\right)dx+a{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{m}f\left(x\right)dx-a{\int }_m^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx\end{array}$$ 式 $(1)$ より、 $$\begin{array}{r}E\left[|X-a|\right]=E\left[|X-m|\right]+2{\int }_m^a(-x+a)\cdot f\left(x\right)dx+a{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{m}f\left(x\right)dx-a{\int }_m^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx\end{array}$$ 中央値の定義 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{m}f\left(x\right)dx={\int }_m^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx=\frac{1}{2}$ より、 $$\begin{array}{r}E\left[|X-a|\right]=E\left[|X-m|\right]+2{\int }_a^m(x-a)\cdot f\left(x\right)dx\end{array}$$ $a<m,0<f\left(x\right)$ より、$a<x<m$ において、 $$\begin{array}{r}0<(x-a)\cdot f\left(x\right)\Rightarrow 0<{\int }_a^m(x-a)\cdot f\left(x\right)dx\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}E\left[|X-m|\right]\le E\left[|X-a|\right]\end{array}$$

（ii）$m<a$ のとき
期待値の定義式 $E\left(X\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)dx$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left[|X-a|\right]& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^a(-x+a)\cdot f\left(x\right)dx+{\int }_a^{\mathrm{\infty }}(x-a)\cdot f\left(x\right)dx\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^m(-x+a)\cdot f\left(x\right)dx+{\int }_m^a(-x+a)\cdot f\left(x\right)dx-{\int }_m^a(x-a)\cdot f\left(x\right)dx+{\int }_m^{\mathrm{\infty }}(x-a)\cdot f\left(x\right)dx\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^m(-x+a)\cdot f\left(x\right)dx+{\int }_m^{\mathrm{\infty }}(x-a)\cdot f\left(x\right)dx+2{\int }_m^a(-x+a)\cdot f\left(x\right)dx\\ & =-{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{m}x\cdot f\left(x\right)dx+{\int }_m^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)dx+2{\int }_m^a(-x+a)\cdot f\left(x\right)dx+a{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{m}f\left(x\right)dx-a{\int }_m^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx\end{array}$$ 式 $(1)$ より、 $$\begin{array}{r}E\left[|X-a|\right]=E\left[|X-m|\right]+2{\int }_m^a(-x+a)\cdot f\left(x\right)dx+a{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{m}f\left(x\right)dx-a{\int }_m^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx\end{array}$$ 中央値の定義 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{m}f\left(x\right)dx={\int }_m^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx=\frac{1}{2}$ より、 $$\begin{array}{r}E\left[|X-a|\right]=E\left[|X-m|\right]+2{\int }_m^a(-x+a)\cdot f\left(x\right)dx\end{array}$$ $m<a,0<f\left(x\right)$ より、$m<x<a$ において、 $$\begin{array}{r}0<(-x+a)\cdot f\left(x\right)\Rightarrow 0<{\int }_m^a(-x+a)\cdot f\left(x\right)dx\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}E\left[|X-m|\right]\le E\left[|X-a|\right]\end{array}$$

（i）（ii）より、任意の実数 $a$ に対して $$\begin{array}{r}E\left[|X-m|\right]\le E\left[|X-a|\right]\end{array}$$ $◼$