事象の独立性と排反性の証明-あるノマドの知の旅路～数学・統計学への道

事象の独立性と排反性の証明

公開日： 2023/03/04

本稿では、事象の独立性と排反性の関係を証明しています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

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目次[非表示]

1.【命題】事象の独立性と排反性
- 1.1.証明
- 1.2.コメント
2.参考文献
3.関連記事

【命題】事象の独立性と排反性

【命題】
事象の独立性と排反性
Independence and Exclusion of Events

事象 $A, B$ に対し、 $0 < P (A), 0 < P (B)$ のとき、
（i）事象 $A$ と事象 $B$ が互いに独立ならば、 $A$ と $B$ は互いに排反ではない $\begin{array}{r} P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B) \Rightarrow P (A \cap B) \neq 0 \end{array}$ （ii）事象 $A$ と事象 $B$ が互いに排反ならば、 $A$ と $B$ は互いに独立ではない $\begin{array}{r} P (A \cap B) = 0 \Rightarrow P (A \cap B) \neq P (A) \cdot P (B) \end{array}$

証明

（i）独立性の定義 $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ と与条件 $0 < P (A), 0 < P (B)$ より、 $\begin{array}{r} 0 < P (A \cap B) \end{array}$ したがって、 $P (A \cap B) \neq 0$ より、 $\begin{array}{r} A \cap B \neq \emptyset \end{array}$ （ii）排反の定義 $P (A \cap B) = 0$ と与条件 $0 < P (A), 0 < P (B) \Rightarrow 0 < P (A \cap B)$ より、 $\begin{array}{r} P (A \cap B) \neq P (A) \cdot P (B) \end{array}$ $◼$

$A$ と $B$ がともに起こりうる事象の場合、 $A$ と $B$ が互いに排反ということは、 $A$ と $B$ が同時には起こらないことを意味する。つまリ、 $A$ が起こったということは $B$ が起こらなかったということと同値である。事象 $A$ が起きたという情報は、事象 $B$ の確率に大いに影響すると言える。

参考文献

野田一雄, 宮岡悦良著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.19-21 練習問題 ex1.4.3

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