幾何分布の確率母関数・モーメント母関数の導出

（i）確率母関数
確率母関数の定義式 $G_X\left(\theta \right)=\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}{\theta }^x\cdot f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}{G}_X\left(\theta \right)& =\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}{\theta }^x{(1-p)}^{x}p\\ & =p\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}{\left\{\theta (1-p)\right\}}^x\end{array}$$ 等比数列の和の公式 $\sum _{k=0}^n{r}^k=\frac{1-r^n}{1-r}$ より、 $$\begin{array}{r}{G}_X\left(\theta \right)=p\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1-{\left\{\theta (1-p)\right\}}^n}{1-\theta (1-p)}\end{array}$$ 確率母関数が存在する $G_X\left(\theta \right)<\mathrm{\infty }$ ためには、 $$\begin{array}{c}\theta (1-p)<1\\ \theta <\frac{1}{1-p}\end{array}$$ このとき、 $$\begin{array}{r}{G}_X\left(\theta \right)=\frac{p}{1-\theta (1-p)}\end{array}$$ $◼$

（ii）モーメント母関数
モーメント母関数の定義式 $M_X\left(\theta \right)=\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\theta x}\cdot f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}{M}_X\left(\theta \right)& =\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\theta x}{(1-p)}^{x}p\\ & =p\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}{\left\{e^{\theta }(1-p)\right\}}^x\end{array}$$ 等比数列の和の公式 $\sum _{k=0}^n{r}^k=\frac{1-r^n}{1-r}$ より、 $$\begin{array}{r}{G}_X\left(\theta \right)=p\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1-{\left\{e^{\theta }(1-p)\right\}}^n}{1-e^{\theta }(1-p)}\end{array}$$ 確率母関数が存在する $G_X\left(\theta \right)<\mathrm{\infty }$ ためには、 $$\begin{array}{c}{e}^{\theta }(1-p)<1\\ e^{\theta }<\frac{1}{1-p}\\ \theta <\log \frac{1}{1-p}\end{array}$$ このとき、 $$\begin{array}{r}{M}_X\left(\theta \right)=\frac{p}{1-e^{\theta }(1-p)}\end{array}$$ $◼$