幾何分布の確率母関数・モーメント母関数の導出

（i）確率母関数
確率母関数の定義式 $G_X \left(\theta\right)=\sum_{x=0}^{\infty}{\theta^x \cdot f \left(x\right)}$ より、 \begin{align} G_X \left(\theta\right)&=\sum_{x=0}^{\infty}{\theta^x \left(1-p\right)^xp}\\ &=p\sum_{x=0}^{\infty} \left\{\theta \left(1-p\right)\right\}^x \end{align} 等比数列の和の公式 $\sum_{k=0}^{n}r^k=\frac{1-r^n}{1-r}$ より、 \begin{align} G_X \left(\theta\right)=p \cdot \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{1- \left\{\theta \left(1-p\right)\right\}^n}{1-\theta \left(1-p\right)}} \end{align} 確率母関数が存在する $G_X \left(\theta\right) \lt \infty$ ためには、 \begin{gather} \theta \left(1-p\right) \lt 1\\ \theta \lt \frac{1}{1-p} \end{gather} このとき、 \begin{align} G_X \left(\theta\right)=\frac{p}{1-\theta \left(1-p\right)} \end{align} $\blacksquare$

（ii）モーメント母関数
モーメント母関数の定義式 $M_X \left(\theta\right)=\sum_{x=-\infty}^{\infty}{e^{\theta x} \cdot f \left(x\right)}$ より、 \begin{align} M_X \left(\theta\right)&=\sum_{x=0}^{\infty}{e^{\theta x} \left(1-p\right)^xp}\\ &=p\sum_{x=0}^{\infty} \left\{e^\theta \left(1-p\right)\right\}^x \end{align} 等比数列の和の公式 $\sum_{k=0}^{n}r^k=\frac{1-r^n}{1-r}$ より、 \begin{align} G_X \left(\theta\right)=p \cdot \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{1- \left\{e^\theta \left(1-p\right)\right\}^n}{1-e^\theta \left(1-p\right)}} \end{align} 確率母関数が存在する $G_X \left(\theta\right) \lt \infty$ ためには、 \begin{gather} e^\theta \left(1-p\right) \lt 1\\ e^\theta \lt \frac{1}{1-p}\\ \theta \lt \log{\frac{1}{1-p}} \end{gather} このとき、 \begin{align} M_X \left(\theta\right)=\frac{p}{1-e^\theta \left(1-p\right)} \end{align} $\blacksquare$