連続一様分布の平方変換

連続一様分布の確率密度関数と累積分布関数は、 \begin{gather} f \left(x\right)= \left\{\begin{matrix}1&0 \le x \le 1\\0&\mathrm{other}\\\end{matrix}\right.\\ F \left(x\right)= \left\{\begin{matrix}0&x \lt 0\\x&0 \le x \le 1\\1&1 \lt x\\\end{matrix}\right. \end{gather} 確率変数 $Y$ の取り得る値の範囲は、 \begin{align} 0 \le x \le 1\Rightarrow0 \le y \le 1 \end{align} 確率変数 $Y$ の累積分布関数を $G \left(y\right)$ とすると、累積分布関数の定義式 $F \left(x\right)=P \left(X \le x\right)$ より、 \begin{align} G \left(y\right)&=P \left(Y \le y\right)\\ &=P \left(X^2 \le y\right)\\ &=P \left(-\sqrt y \le X \le \sqrt y\right) \end{align} $X$ の取り得る値の範囲は、$0 \le x \le 1$ だから、 \begin{align} G \left(y\right)=P \left(0 \le X \le \sqrt y\right) \end{align} 累積分布関数の定義式 $G \left(x\right)=P \left(X \le x\right)$ より、確率変数 $X$ の累積分布関数を $F \left(x\right)$ とすると、 \begin{align} G \left(y\right)&=F \left(\sqrt y\right)-F \left(0\right)\\ &=\sqrt y \end{align} 確率密度関数を $g \left(y\right)$ とすると、累積分布関数と確率密度関数との関係式 $f \left(x\right)=\frac{d}{dx}F \left(x\right)$ より、 \begin{align} g \left(y\right)&=\frac{d}{dy}\sqrt y\\ &=\frac{1}{2\sqrt y} \end{align} $\blacksquare$

（a）期待値
期待値の定義式 $E \left(X\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{x \cdot f \left(x\right)dx}$ より、 \begin{align} E \left(Y\right)&=\int_{0}^{1}{y \cdot f_Y \left(y\right)dy}\\ &=\int_{0}^{1}{y \cdot \frac{1}{2\sqrt y}dy}\\ &=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{\sqrt y d y}\\ &=\frac{1}{2} \left[\frac{2}{3}y^\frac{3}{2}\right]_0^1\\ &=\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \left(1-0\right)\\ &=\frac{1}{3} \end{align} $\blacksquare$

（b）分散
2乗の期待値の定義式 $E \left(X^2\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{x^2 \cdot f \left(x\right)dx}$ より、 \begin{align} E \left(Y^2\right)&=\int_{0}^{1}{y^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt y}dy}\\ &=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{y^\frac{3}{2}dy}\\ &=\frac{1}{2} \left[\frac{2}{5}y^\frac{5}{2}\right]_0^1\\ &=\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} \left(1-0\right)\\ &=\frac{1}{5} \end{align} 分散の公式 $V \left(X\right)=E \left(X^2\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、 \begin{align} V \left(Y\right)&=\frac{1}{5}-\frac{1}{9}\\ &=\frac{4}{45} \end{align} $\blacksquare$