連続一様分布の平方変換

連続一様分布の確率密度関数と累積分布関数は、 $$\begin{array}{c}f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}1& 0\le x\le 1\\ 0& \mathrm{other}\end{array}\\ F\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}0& x<0\\ x& 0\le x\le 1\\ 1& 1<x\end{array}\end{array}$$ 確率変数 $Y$ の取り得る値の範囲は、 $$\begin{array}{r}0\le x\le 1\Rightarrow 0\le y\le 1\end{array}$$ 確率変数 $Y$ の累積分布関数を $G\left(y\right)$ とすると、累積分布関数の定義式 $F\left(x\right)=P(X\le x)$ より、 $$\begin{array}{rl}G\left(y\right)& =P(Y\le y)\\ & =P(X^2\le y)\\ & =P(-\sqrt{y}\le X\le \sqrt{y})\end{array}$$ $X$ の取り得る値の範囲は、$0\le x\le 1$ だから、 $$\begin{array}{r}G\left(y\right)=P(0\le X\le \sqrt{y})\end{array}$$ 累積分布関数の定義式 $G\left(x\right)=P(X\le x)$ より、確率変数 $X$ の累積分布関数を $F\left(x\right)$ とすると、 $$\begin{array}{rl}G\left(y\right)& =F\left(\sqrt{y}\right)-F\left(0\right)\\ & =\sqrt{y}\end{array}$$ 確率密度関数を $g\left(y\right)$ とすると、累積分布関数と確率密度関数との関係式 $f\left(x\right)=\frac{d}{dx}F\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}g\left(y\right)& =\frac{d}{dy}\sqrt{y}\\ & =\frac{1}{2\sqrt{y}}\end{array}$$ $◼$

（a）期待値
期待値の定義式 $E\left(X\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)dx$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(Y\right)& ={\int }_0^{1}y\cdot f_Y\left(y\right)dy\\ & ={\int }_0^{1}y\cdot \frac{1}{2\sqrt{y}}dy\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^1\sqrt{y}dy\\ & =\frac{1}{2}{\left[\frac{2}{3}{y}^{\frac{3}{2}}\right]}_0^1\\ & =\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}(1-0)\\ & =\frac{1}{3}\end{array}$$ $◼$

（b）分散
2乗の期待値の定義式 $E\left(X^2\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^2\cdot f\left(x\right)dx$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(Y^2\right)& ={\int }_0^1{y}^2\cdot \frac{1}{2\sqrt{y}}dy\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^1{y}^{\frac{3}{2}}dy\\ & =\frac{1}{2}{\left[\frac{2}{5}{y}^{\frac{5}{2}}\right]}_0^1\\ & =\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{5}(1-0)\\ & =\frac{1}{5}\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(Y\right)& =\frac{1}{5}-\frac{1}{9}\\ & =\frac{4}{45}\end{array}$$ $◼$