二項分布の再生性の証明

確率変数のたたみこみの公式 $k \left(z\right)=\sum_{x=0}^{z}{g \left(x\right) \cdot h \left(s-x\right)}$ より、 \begin{align} f \left(z\right)&=\sum_{x=0}^{z}{{}_{n_1}C_xp^x \left(1-p\right)^{n_1-x}} \cdot {}_{n_2}C_{z-x}p^{z-x} \left(1-p\right)^{n_2- \left(z-x\right)}\\ &=\sum_{x=0}^{z}{{}_{n_1}C_x \cdot {}_{n_2}C_{z-x}p^z \left(1-p\right)^{n_1+n_2-z}}\\ &=p^z \left(1-p\right)^{n_1+n_2-z}\sum_{x=0}^{z}{{}_{n_1}C_x \cdot {}_{n_2}C_{z-x}} \end{align} ヴァンデルモンドの恒等式 $\sum_{x=0}^{z}{{}_{n_1}C_x \cdot {}_{n_2}C_{z-x}}={}_{n_1+n_2}C_z$ より、 \begin{align} f \left(z\right)={}_{n_1+n_2}C_zp^z \left(1-p\right)^{n_1+n_2-z} \end{align} これは、二項分布の確率関数 \begin{align} f \left(x\right)={}_{n}C_xp^x \left(1-p\right)^{n-x} \end{align} において、 \begin{align} n\rightarrow n_1+n_2 \quad x\rightarrow z \end{align} と置き換えたものとみなすことができる。 したがって、確率関数の一意性により、確率変数 $Z$ は、二項分布 \begin{align} Z \sim B \left(n_1+n_2,p\right) \end{align} に従う。 $\blacksquare$

二項分布のモーメント母関数の公式より、 \begin{gather} M_X \left(\theta\right)= \left(e^\theta p+1-p\right)^{n_1}\\ M_Y \left(\theta\right)= \left(e^\theta p+1-p\right)^{n_2} \end{gather} モーメント母関数の性質 $M_Z \left(\theta\right)=M_X \left(\theta\right) \cdot M_Y \left(\theta\right)$ より、 \begin{align} M_Z \left(\theta\right)&= \left(e^\theta p+1-p\right)^{n_1} \cdot \left(e^\theta p+1-p\right)^{n_2}\\ &= \left(e^\theta p+1-p\right)^{n_1+n_2} \end{align} これは、二項分布のモーメント母関数 \begin{align} M_X \left(\theta\right)= \left(e^\theta p+1-p\right)^n \end{align} において、 \begin{align} n\rightarrow n_1+n_2 \quad X\rightarrow Z \end{align} と置き換えたものとみなすことができる。 したがって、モーメント母関数の一意性により、確率変数 $Z$ は、二項分布 \begin{align} Z \sim B \left(n_1+n_2,p\right) \end{align} に従う。 $\blacksquare$