二項分布の再生性の証明

確率変数のたたみこみの公式 $k\left(z\right)=\sum _{x=0}^{z}g\left(x\right)\cdot h(s-x)$ より、 $$\begin{array}{rl}f\left(z\right)& =\sum _{x=0}^z{}_{n_1}{C}_x{p}^x{(1-p)}^{n_1-x}\cdot {}_{n_2}{C}_{z-x}{p}^{z-x}{(1-p)}^{n_2-(z-x)}\\ & =\sum _{x=0}^z{}_{n_1}{C}_x\cdot {}_{n_2}{C}_{z-x}{p}^z{(1-p)}^{n_1+n_2-z}\\ & =p^z{(1-p)}^{n_1+n_2-z}\sum _{x=0}^z{}_{n_1}{C}_x\cdot {}_{n_2}{C}_{z-x}\end{array}$$ ヴァンデルモンドの恒等式 $\sum _{x=0}^z{}_{n_1}{C}_x\cdot {}_{n_2}{C}_{z-x}={}_{n_1+n_2}{C}_z$ より、 $$\begin{array}{r}f\left(z\right)={}_{n_1+n_2}{C}_z{p}^z{(1-p)}^{n_1+n_2-z}\end{array}$$ これは、二項分布の確率関数 $$\begin{array}{r}f\left(x\right)={}_n{C}_x{p}^x{(1-p)}^{n-x}\end{array}$$ において、 $$\begin{array}{r}n\to n_1+n_{2}x\to z\end{array}$$ と置き換えたものとみなすことができる。 したがって、確率関数の一意性により、確率変数 $Z$ は、二項分布 $$\begin{array}{r}Z\sim B(n_1+n_2,p)\end{array}$$ に従う。 $◼$

二項分布のモーメント母関数の公式より、 $$\begin{array}{c}{M}_X\left(\theta \right)={(e^{\theta }p+1-p)}^{n_1}\\ M_Y\left(\theta \right)={(e^{\theta }p+1-p)}^{n_2}\end{array}$$ モーメント母関数の性質 $M_Z\left(\theta \right)=M_X\left(\theta \right)\cdot M_Y\left(\theta \right)$ より、 $$\begin{array}{rl}{M}_Z\left(\theta \right)& ={(e^{\theta }p+1-p)}^{n_1}\cdot {(e^{\theta }p+1-p)}^{n_2}\\ & ={(e^{\theta }p+1-p)}^{n_1+n_2}\end{array}$$ これは、二項分布のモーメント母関数 $$\begin{array}{r}{M}_X\left(\theta \right)={(e^{\theta }p+1-p)}^n\end{array}$$ において、 $$\begin{array}{r}n\to n_1+n_{2}X\to Z\end{array}$$ と置き換えたものとみなすことができる。 したがって、モーメント母関数の一意性により、確率変数 $Z$ は、二項分布 $$\begin{array}{r}Z\sim B(n_1+n_2,p)\end{array}$$ に従う。 $◼$