条件付き確率の基本性質の証明-あるノマドの知の旅路～数学・統計学への道

条件付き確率の基本性質の証明

公開日： 2023/03/03

本稿では、条件付き確率の基本性質を証明しています。

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目次[非表示]

1.【定理】条件付き確率の基本性質
- 1.1.証明
2.参考文献
3.関連記事

【定理】条件付き確率の基本性質

【定理】
条件付き確率の基本性質
Basic Properties of Conditional Probability

事象 $A, B_{1}, B_{2}, \dots$ について、標本空間を $Ω$ とし、 $\begin{matrix} 0 < P (A) \end{matrix}$ のとき、（i） $\begin{array}{r} P (Ω | A) = 1 \end{array}$

（ii）条件付き確率は0以上、1以下 $\begin{array}{r} 0 \leq P (B | A) \leq 1 \end{array}$

（iii） $B_{1} \cap B_{2} = \emptyset$ ならば、 $\begin{array}{r} P (B_{1} \cup B_{2} | A) = P (B_{1} | A) + P (B_{2} | A) \end{array}$

（iv）すべての $i \neq j$ で $B_{i} \cap B_{j} = \emptyset$ ならば、 $\begin{array}{r} P (⋃_{i = 1}^{\infty} B_{i} | A) = \sum_{i = 1}^{\infty} P (B_{i} | A) \end{array}$

（v） $\begin{array}{r} P (B^{C} | A) = 1 - P (B | A) \end{array}$

（vi） $\begin{array}{r} P (B_{1} \cup B_{2} | A) = P (B_{1} | A) + P (B_{2} | A) - P (B_{1} \cap B_{2} | A) \end{array}$

（vii） $\begin{array}{r} P (B | Ω) = P (B) \end{array}$

（viii） $A \cap B = \emptyset$ ならば、 $\begin{array}{r} P (B | A) = 0 \end{array}$

（ix） $A \subset B$ ならば、 $\begin{array}{r} P (B | A) = 1 \end{array}$

（x） $B \subset A$ ならば、 $\begin{array}{r} P (B) \leq P (B | A) \end{array}$

証明

（i）条件付き確率の定義 $P (B | A) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$ より、 $\begin{array}{r} P (Ω | A) = \frac{P (A \cap Ω)}{P (A)} \end{array}$ $P (A \cap Ω) = P (A)$ より、 $\begin{array}{r} P (Ω | A) = \frac{P (A)}{P (A)} = 1 \end{array}$ $◼$

（ii）条件付き確率の定義 $P (B | A) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$ より、 $\begin{array}{r} P (B | A) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)} \end{array}$ ここで、 $A \cap B \subset A$ なので、 $P (A \cap B) \leq P (A)$ であり、確率の公理 $0 \leq P (A \cap B)$ より、 $\begin{matrix} 0 \leq P (A \cap B) \leq P (A) \\ 0 \leq \frac{P (A \cap B)}{P (A)} \leq 1 \\ 0 \leq P (B | A) \leq 1 \end{matrix}$ $◼$

（iii）条件付き確率の定義 $P (B | A) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$ より、 $\begin{array}{r} P (B_{1} \cup B_{2} | A) = \frac{P {(B_{1} \cup B_{2}) \cap A}}{P (A)} \end{array}$ 事象の分配法則 $(A \cup B) \cap C = (A \cup C) \cap (B \cap C)$ より、 $\begin{aligned} P (B_{1} \cup B_{2} | A) & = \frac{P {(B_{1} \cap A) \cup (B_{2} \cap A)}}{P (A)} \\ = \frac{P (B_{1} \cap A) + P (B_{2} \cap A) - P {(B_{1} \cap A) \cap (B_{2} \cap A)}}{P (A)} \end{aligned}$ 事象の結合法則 $(A \cap B) \cap (A \cap C) = A \cap (B \cap C)$ より、 $\begin{array}{r} P (B_{1} \cup B_{2} | A) = \frac{P (B_{1} \cap A) + P (B_{2} \cap A) - P {(B_{1} \cap B_{2}) \cap A}}{P (A)} \end{array}$ $B_{1} \cap B_{2} = \emptyset$ より、 $(B_{1} \cap B_{2}) \cap A = \emptyset$ であり、 $P {(B_{1} \cap B_{2}) \cap A} = 0$ なので、 $\begin{aligned} P (B_{1} \cup B_{2} | A) & = \frac{P (B_{1} \cap A) + P (B_{2} \cap A)}{P (A)} \\ = \frac{P (B_{1} \cap A)}{P (A)} + \frac{P (B_{2} \cap A)}{P (A)} \end{aligned}$ 条件付き確率の定義 $P (B | A) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$ より、 $\begin{array}{r} P (B_{1} \cup B_{2} | A) = P (B_{1} | A) + P (B_{2} | A) \end{array}$ $◼$

（iv）条件付き確率の定義 $P (B | A) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$ より、 $\begin{array}{r} P (⋃_{i = 1}^{\infty} B_{i} | A) = \frac{P {(⋃_{i = 1}^{\infty} B_{i}) \cap A}}{P (A)} \end{array}$ 事象の分配法則 $(⋃_{i = 1}^{\infty} B_{i}) \cap A = ⋃_{i = 1}^{\infty} (B_{i} \cap A)$ より、 $\begin{array}{r} P (⋃_{i = 1}^{\infty} B_{i} | A) = \frac{P {⋃_{i = 1}^{\infty} (B_{i} \cap A)}}{P (A)} \end{array}$ 各事象は互いに排反 $B_{i} \cap B_{j} = \emptyset$ なので、 $P {⋃_{i = 1}^{\infty} (B_{i} \cap A)} = \sum_{i = 1}^{\infty} P (B_{i} \cap A)$ が成り立つため、 $\begin{array}{r} P (⋃_{i = 1}^{\infty} B_{i} | A) = \frac{\sum_{i = 1}^{\infty} P (B_{i} \cap A)}{P (A)} \end{array}$ 条件付き確率の定義 $P (B | A) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$ より、 $\begin{array}{r} P (⋃_{i = 1}^{\infty} B_{i} | A) = \sum_{i = 1}^{\infty} P (B_{i} | A) \end{array}$ $◼$

（v）条件付き確率の定義 $P (B | A) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$ より、 $\begin{matrix} P (B^{C} | A) = \frac{P (B^{C} \cap A)}{P (A)} = \frac{P (A) - P (B \cap A)}{P (A)} \\ 1 - P (B | A) = 1 - \frac{P (B \cap A)}{P (A)} = \frac{P (A) - P (B \cap A)}{P (A)} \end{matrix}$ したがって、左辺＝右辺となるので、 $\begin{array}{r} P (B^{C} | A) = 1 - P (B | A) \end{array}$ $◼$

（vi）条件付き確率の定義 $P (B | A) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$ より、 $\begin{array}{r} P (B_{1} \cup B_{2} | A) = \frac{P {(B_{1} \cup B_{2}) \cap A}}{P (A)} \end{array}$ 事象の分配法則 $(A \cup B) \cap C = (A \cup C) \cap (B \cap C)$ より、 $\begin{array}{r} P (B_{1} \cup B_{2} | A) = \frac{P {(B_{1} \cap A) \cup (B_{2} \cap A)}}{P (A)} \end{array}$ 確率の加法定理 $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ より、 $\begin{aligned} P (B_{1} \cup B_{2} | A) & = \frac{P (B_{1} \cap A) + P (B_{2} \cap A) - P {(B_{1} \cap B_{2}) \cap A}}{P (A)} \\ = \frac{P (B_{1} \cap A)}{P (A)} + \frac{P (B_{2} \cap A)}{P (A)} - \frac{P {(B_{1} \cap B_{2}) \cap A}}{P (A)} \end{aligned}$ 条件付き確率の定義 $P (B | A) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$ より、 $\begin{array}{r} P (B_{1} \cup B_{2} | A) = P (B_{1} | A) + P (B_{2} | A) - P (B_{1} \cap B_{2} | A) \end{array}$ $◼$

（vii）条件付き確率の定義 $P (B | A) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$ より、 $\begin{array}{r} P (B | Ω) = \frac{P (B \cap Ω)}{P (Ω)} = \frac{P (B)}{P (Ω)} \end{array}$ $P (B \cap Ω) = P (B), P (Ω) = 1$ より、 $\begin{array}{r} P (B | Ω) = \frac{P (B)}{P (Ω)} = P (B) \end{array}$ $◼$

（viii）条件付き確率の定義 $P (B | A) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$ より、 $\begin{array}{r} P (B | A) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)} \end{array}$ 確率の基本性質 $P (\emptyset) = 0$ より、 $\begin{array}{r} P (B | A) = 0 \end{array}$ $◼$

（ix）条件付き確率の定義 $P (B | A) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$ より、 $\begin{array}{r} P (B | A) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)} \end{array}$ $A \subset B$ ならば、 $P (A \cap B) = P (A)$ なので、 $\begin{array}{r} P (B | A) = \frac{P (A)}{P (A)} = 1 \end{array}$ $◼$

（x）条件付き確率の定義 $P (B | A) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$ より、 $\begin{array}{r} P (B | A) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)} \end{array}$ $B \subset A$ ならば、 $P (A \cap B) = P (B)$ であり、確率の基本性質 $0 \leq P (B) \leq 1$ より、 $\begin{array}{r} P (B | A) = \frac{P (B)}{P (A)} \leq P (B) \end{array}$ $◼$

参考文献

野田一雄, 宮岡悦良著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.14-16 練習問題 ex1.3.2, ex1.3.3

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