負の二項分布の確率漸化式と最頻値の導出

確率関数の定義式を用いて、比を計算すると、 $$\begin{array}{rl}\frac{P(X+1)}{P\left(X\right)}& =\frac{{}_{n+x}{C}_{x+1}{p}^n{(1-p)}^{x+1}}{{}_{n+x-1}{C}_x{p}^n{(1-p)}^x}\\ & =\frac{(n+x)!}{(x+1)!(n-1)!}\cdot \frac{x!(n-1)!}{(n+x-1)!}\cdot (1-p)\\ & =\frac{n+x}{x+1}(1-p)\end{array}$$ この漸化式は、2つの比が 1よりも小さいときは、$P\left(X\right)$ の方が大きい
1のときは、$P\left(X\right)$ と $P(X+1)$ が等しい
1よりも大きいときは、$P(X+1)$ の方が大きい すなわち、 $$\begin{array}{c}\frac{P(X+1)}{P\left(X\right)}<1\iff P(X+1)<P\left(X\right)\\ 1=\frac{P(X+1)}{P\left(X\right)}\iff P\left(X\right)=P(X+1)\\ 1<\frac{P(X+1)}{P\left(X\right)}\iff P\left(X\right)<P(X+1)\end{array}$$ ということを意味している。 比が1のときの $X$ の値を求めると、 $$\begin{array}{c}1=\frac{n+x}{x+1}(1-p)\\ x+1=(x+n)(1-p)\\ x+1=x-px+n-np\\ px=n-np-1\end{array}$$ 両辺に $p$ を足すと、 $$\begin{array}{c}px+p=n-np+p-1\\ (x+1)p=n(1-p)-(1-p)\\ (x+1)p=(n-1)(1-p)\\ x+1=\frac{(n-1)(1-p)}{p}\\ x=\frac{(n-1)(1-p)}{p}-1\end{array}$$ したがって、$P\left(X\right)$ は、 $x<\frac{(n-1)(1-p)}{p}-1$ で単調増加
$\frac{(n-1)(1-p)}{p}-1<x$ で単調減少 すなわち $$\begin{array}{c}x<\frac{(n-1)(1-p)}{p}-1-1\iff P\left(X\right)<P(X+1)\\ \frac{(n-1)(1-p)}{p}-1-1<x\iff P(X+1)<P\left(X\right)\end{array}$$ 最頻値を $m$ とすると、 $$\begin{array}{r}P\left(0\right)<P\left(1\right)<\cdots <P(m-1)<P\left(m\right)\ge P(m+1)>\cdots >P\left(n\right)\end{array}$$ となる。 したがって、最頻値の定義より、
（i）$\frac{(n-1)(1-p)}{p}$ が整数のとき $$\begin{array}{r}X=\frac{(n-1)(1-p)}{p}-1X+1=\frac{(n-1)(1-p)}{p}\end{array}$$ において、確率が最大になる。 （ii）$\frac{(n-1)(1-p)}{p}$ が整数でないとき、 $$\begin{array}{r}X+1=\lceil \frac{(n-1)(1-p)}{p}\rceil \end{array}$$ すなわち、 $\frac{(n-1)(1-p)}{p}$ を超えない最大の整数 のとき、確率が最大になる。 $◼$