本稿では、確率漸化式を用いることで負の二項分布の最頻値を導出しています。計算の途中でやや工夫を要するところもありますが、離散型確率分布の最頻値を求める問題としては、そこまで難しくありません。
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【定理】負の二項分布の確率漸化式と最頻値
【定理】
負の二項分布の確率漸化式と最頻値
Recurrence Relation and Mode of Negative Binomial Distribution
確率変数 $X$ が負の二項分布
\begin{align}
X \sim \mathrm{NB} \left(n,p\right)
\end{align}
に従うとき、
$P \left(X\right)$ と $P \left(X+1\right)$ の比について、
\begin{align}
\frac{P \left(X+1\right)}{P \left(X\right)}=\frac{x+n}{x+1} \left(1-p\right)
\end{align}
が成り立ち、
最頻値は、
（i）$\frac{ \left(n-1\right) \left(1-p\right)}{p}$ が整数のとき
\begin{align}
X=\frac{ \left(n-1\right) \left(1-p\right)}{p}-1,X=\frac{ \left(n-1\right) \left(1-p\right)}{p}
\end{align}
（ii）$\frac{ \left(n-1\right) \left(1-p\right)}{p}$ が整数でないとき
\begin{align}
X= \left\lceil\frac{ \left(n-1\right) \left(1-p\right)}{p}\right\rceil
\end{align}
ただし、$ \left\lceil x\right\rceil$ は、「$x$ を超えない最大の整数」を表す。
で与えられる。
証明
確率関数の定義式を用いて、比を計算すると、
\begin{align}
\frac{P \left(X+1\right)}{P \left(X\right)}&=\frac{{}_{n+x}C_{x+1}p^n \left(1-p\right)^{x+1}}{{}_{n+x-1}C_xp^n \left(1-p\right)^x}\\
&=\frac{ \left(n+x\right)!}{ \left(x+1\right)! \left(n-1\right)!} \cdot \frac{x! \left(n-1\right)!}{ \left(n+x-1\right)!} \cdot \left(1-p\right)\\
&=\frac{n+x}{x+1} \left(1-p\right)
\end{align}
この漸化式は、2つの比が
1よりも小さいときは、$P \left(X\right)$ の方が大きい
1のときは、$P \left(X\right)$ と $P \left(X+1\right)$ が等しい
1よりも大きいときは、$P \left(X+1\right)$ の方が大きい
すなわち、
\begin{gather}
\frac{P \left(X+1\right)}{P \left(X\right)} \lt 1\Leftrightarrow P \left(X+1\right) \lt P \left(X\right)\\
1=\frac{P \left(X+1\right)}{P \left(X\right)}\Leftrightarrow P \left(X\right)=P \left(X+1\right)\\
1 \lt \frac{P \left(X+1\right)}{P \left(X\right)}\Leftrightarrow P \left(X\right) \lt P \left(X+1\right)
\end{gather}
ということを意味している。
比が1のときの $X$ の値を求めると、
\begin{gather}
1=\frac{n+x}{x+1} \left(1-p\right)\\
x+1= \left(x+n\right) \left(1-p\right)\\
x+1=x-px+n-np\\
px=n-np-1
\end{gather}
両辺に $p$ を足すと、
\begin{gather}
px+p=n-np+p-1\\
\left(x+1\right)p=n \left(1-p\right)- \left(1-p\right)\\
\left(x+1\right)p= \left(n-1\right) \left(1-p\right)\\
x+1=\frac{ \left(n-1\right) \left(1-p\right)}{p}\\
x=\frac{ \left(n-1\right) \left(1-p\right)}{p}-1
\end{gather}
したがって、$P \left(X\right)$ は、
$x \lt \frac{ \left(n-1\right) \left(1-p\right)}{p}-1$ で単調増加
$\frac{ \left(n-1\right) \left(1-p\right)}{p}-1 \lt x$ で単調減少
すなわち
\begin{gather}
x \lt \frac{ \left(n-1\right) \left(1-p\right)}{p}-1-1\Leftrightarrow P \left(X\right) \lt P \left(X+1\right)\\
\frac{ \left(n-1\right) \left(1-p\right)}{p}-1-1 \lt x\Leftrightarrow P \left(X+1\right) \lt P \left(X\right)
\end{gather}
最頻値を $m$ とすると、
\begin{align}
P \left(0\right) \lt P \left(1\right) \lt \cdots \lt P \left(m-1\right) \lt P \left(m\right) \geq P \left(m+1\right) \gt \cdots \gt P \left(n\right)
\end{align}
となる。
したがって、最頻値の定義より、
（i）$\frac{ \left(n-1\right) \left(1-p\right)}{p}$ が整数のとき
\begin{align}
X=\frac{ \left(n-1\right) \left(1-p\right)}{p}-1 \quad X+1=\frac{ \left(n-1\right) \left(1-p\right)}{p}
\end{align}
において、確率が最大になる。
（ii）$\frac{ \left(n-1\right) \left(1-p\right)}{p}$ が整数でないとき、
\begin{align}
X+1= \left\lceil\frac{ \left(n-1\right) \left(1-p\right)}{p}\right\rceil
\end{align}
すなわち、
$\frac{ \left(n-1\right) \left(1-p\right)}{p}$ を超えない最大の整数
のとき、確率が最大になる。
$\blacksquare$
参考文献
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.122-123 練習問題 ex.3.4.3, ex.3.4.4
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