本稿では、確率の加法定理を証明しています。事象数が2個の場合だけでなく、一般の場合について証明しています。
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【定理】確率の加法定理
【定理】
確率の加法定理
Addition Theorem on Probability
（I）2つの事象 $A,B$ に対し、 \begin{align} P \left(A \cup B\right)=P \left(A\right)+P \left(B\right)-P \left(A \cap B\right) \end{align}
（II）有限個の事象 $A_1,A_2,A_3, \cdots ,A_n$ に対し、$i \neq j \neq k \neq \cdots $ として、 \begin{multline} P \left(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots \cup A_n\right)=\sum_{i=1}^{n}P \left(A_i\right)-\sum_{1 \le i \lt j \le n}{P \left(A_i \cap A_j\right)+ \cdots +\\+ \left(-1\right)^{n+1}P \left(A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap \cdots \cap A_n\right)} \end{multline} 記号を用いると、 \begin{align} P \left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{1 \le l_1 \lt \cdots \lt l_i \lt \cdots \le n}{ \left(-1\right)^{i+1}P \left[\bigcap_{j=1}^{i}A_{l_j}\right]} \end{align}
（III）有限個の事象 $A_1,A_2,A_3, \cdots ,A_n$ に対し、$i \neq j \neq k \neq \cdots $ として、 \begin{align} P \left(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots \cup A_n\right)=1-P \left(A_1^C \cap A_2^C \cup \cdots \cup A_n^C\right) \end{align}
証明
（I）事象 $A,B$ の和集合を3つの部分に分割すると、 \begin{align} A \cup B= \left(A \cap B^C\right) \cup \left(A \cap B\right) \cup \left(A^C \cap B\right) \end{align} ここで、$ \left(A \cap B^C\right), \left(A \cap B\right), \left(A^C \cap B\right)$ は互いに排反なので、 \begin{gather} \left(A \cap B^C\right) \cap \left(A \cap B\right)=\emptyset\\ \left(A \cap B^C\right) \cap \left(A^C \cap B\right)=\emptyset\\ \left(A \cap B\right) \cap \left(A^C \cap B\right)=\emptyset \end{gather} 確率の基本性質 $P \left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)=\sum_{i=1}^{n}P \left(A_i\right)$ より、 \begin{align} P \left(A \cup B\right)=P \left(A \cap B^C\right)+P \left(A \cap B\right)+P \left(A^C \cap B\right) \end{align} ここで、 \begin{gather} P \left(A\right)=P \left(A \cap B\right)+P \left(A \cap B^C\right)\\ P \left(B\right)=P \left(A \cap B\right)+P \left(A^C \cap B\right) \end{gather} したがって、 \begin{align} P \left(A \cup B\right)&=P \left(A\right)-P \left(A \cap B\right)+P \left(B\right)-P \left(A \cap B\right)+P \left(A \cap B\right)\\ &=P \left(A\right)+P \left(B\right)-P \left(A \cap B\right) \end{align} $\blacksquare$
（II）$n=k$ のとき、与えられた命題が成り立つと仮定したとき、$n=k+1$ のときにも命題が成り立つことを数学的帰納法で示す。
（i）$n=1$ のとき、 \begin{align} P \left(A\right)=P \left(A\right) \end{align} となるので、命題は成り立つ。
（ii）$n=2$ のとき、（I）より、命題は成り立つ。
（iii）$n=k$ のとき、与えられた命題が成り立つ、すなわち、 \begin{align} P \left(\bigcup_{i=1}^{k}A_i\right)=\sum_{i=1}^{k}\sum_{1 \le l_1 \lt \cdots \lt l_i \lt \cdots \le k}{ \left(-1\right)^{i+1}P \left[\bigcap_{j=1}^{i}A_{l_j}\right]} \end{align} が成り立つと仮定する。 このとき、 \begin{align} P \left(\bigcup_{i=1}^{k+1}A_i\right)&=P \left(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots \cup A_k \cup A_{k+1}\right)\\ &=P \left\{ \left(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots \cup A_k\right) \cup A_{k+1}\right\}\\ &=P \left(\bigcup_{i=1}^{k}A_i\right)+P \left(A_{k+1}\right)-P \left[ \left(\bigcup_{i=1}^{k}A_i\right) \cap A_{k+1}\right] \end{align} 事象の分配法則 $ \left(\bigcup_{i=1}^{k}A_i\right) \cap A_{k+1}=\bigcup_{i=1}^{k} \left(A_i \cap A_{k+1}\right)$ より、 \begin{align} P \left(\bigcup_{i=1}^{k+1}A_i\right)=P \left(\bigcup_{i=1}^{k}A_i\right)+P \left(A_{k+1}\right)-P \left[\bigcup_{i=1}^{k} \left(A_i \cap A_{k+1}\right)\right] \end{align} ここで、帰納法の仮定より、 \begin{align} P \left(\bigcup_{i=1}^{k+1}A_i\right)&=P \left(\bigcup_{i=1}^{k+1}A_i\right)-\sum_{i=1}^{k}\sum_{1 \le l_1 \lt \cdots \lt l_i \lt \cdots \le n}{ \left(-1\right)^{i+1}P \left[\bigcup_{i=1}^{k} \left(A_i \cap A_{k+1}\right)\right]}\\ &=P \left(\bigcup_{i=1}^{k+1}A_i\right)+\sum_{i=1}^{k}\sum_{1 \le l_1 \lt \cdots \lt l_i \lt \cdots \le n}{ \left(-1\right)^{i+2}P \left[\bigcup_{i=1}^{k} \left(A_i \cap A_{k+1}\right)\right]}\\ &=\sum_{i=1}^{k+1}\sum_{1 \le l_1 \lt \cdots \lt l_i \lt \cdots \le n}{ \left(-1\right)^{i+1}P \left[\bigcap_{j=1}^{i}A_{l_j}\right]} \end{align} よって、$n=k+1$ のときにも命題が成り立つ。
（i）～（iii）から、数学的に帰納法により、 \begin{align} P \left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{1 \le l_1 \lt \cdots \lt l_i \lt \cdots \le n}{ \left(-1\right)^{i+1}P \left[\bigcap_{j=1}^{i}A_{l_j}\right]} \end{align} $\blacksquare$
（III）ド・モルガンの法則 $ \left(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n\right)^C=A_1^C \cap A_2^C \cap \cdots \cap A_n^C$ より、 \begin{align} P \left\{ \left(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n\right)^C\right\}=P \left(A_1^C \cap A_2^C \cap \cdots \cap A_n^C\right) \end{align} 確率の基本性質 $P \left(A^C\right)=1-P \left(A\right)$ より、 \begin{gather} 1-P \left(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n\right)=P \left(A_1^C \cap A_2^C \cap \cdots \cap A_n^C\right)\\ P \left(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots \cup A_n\right)=1-P \left(A_1^C \cap A_2^C \cup \cdots \cup A_n^C\right) \end{gather} $\blacksquare$
参考文献
- 小寺 平治 著. 数理統計：明解演習. 共立出版, 1986, p.4-5, p.12 例題7
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.7-8, p.29 章末問題 1.B.5
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