確率の加法定理の証明

（I）事象 $A,B$ の和集合を3つの部分に分割すると、 $$\begin{array}{r}A\cup B=(A\cap B^C)\cup (A\cap B)\cup (A^C\cap B)\end{array}$$ ここで、$(A\cap B^C),(A\cap B),(A^C\cap B)$ は互いに排反なので、 $$\begin{array}{c}(A\cap B^C)\cap (A\cap B)=\mathrm{\varnothing }\\ (A\cap B^C)\cap (A^C\cap B)=\mathrm{\varnothing }\\ (A\cap B)\cap (A^C\cap B)=\mathrm{\varnothing }\end{array}$$ 確率の基本性質 $P\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}P\left(A_i\right)$ より、 $$\begin{array}{r}P(A\cup B)=P(A\cap B^C)+P(A\cap B)+P(A^C\cap B)\end{array}$$ ここで、 $$\begin{array}{c}P\left(A\right)=P(A\cap B)+P(A\cap B^C)\\ P\left(B\right)=P(A\cap B)+P(A^C\cap B)\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{rl}P(A\cup B)& =P\left(A\right)-P(A\cap B)+P\left(B\right)-P(A\cap B)+P(A\cap B)\\ & =P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A\cap B)\end{array}$$ $◼$

（II）$n=k$ のとき、与えられた命題が成り立つと仮定したとき、$n=k+1$ のときにも命題が成り立つことを数学的帰納法で示す。

（i）$n=1$ のとき、 $$\begin{array}{r}P\left(A\right)=P\left(A\right)\end{array}$$ となるので、命題は成り立つ。

（ii）$n=2$ のとき、（I）より、命題は成り立つ。

（iii）$n=k$ のとき、与えられた命題が成り立つ、すなわち、 $$\begin{array}{r}P\left(\bigcup _{i=1}^k{A}_i\right)=\sum _{i=1}^k\sum _{1\le l_1<\cdots <l_i<\cdots \le k}{(-1)}^{i+1}P\left[\bigcap _{j=1}^i{A}_{l_j}\right]\end{array}$$ が成り立つと仮定する。 このとき、 $$\begin{array}{rl}P\left(\bigcup _{i=1}^{k+1}{A}_i\right)& =P(A_1\cup A_2\cup A_3\cup \cdots \cup A_k\cup A_{k+1})\\ & =P\{(A_1\cup A_2\cup A_3\cup \cdots \cup A_k)\cup A_{k+1}\}\\ & =P\left(\bigcup _{i=1}^k{A}_i\right)+P\left(A_{k+1}\right)-P[\left(\bigcup _{i=1}^k{A}_i\right)\cap A_{k+1}]\end{array}$$ 事象の分配法則 $\left(\bigcup _{i=1}^k{A}_i\right)\cap A_{k+1}=\bigcup _{i=1}^k(A_i\cap A_{k+1})$ より、 $$\begin{array}{r}P\left(\bigcup _{i=1}^{k+1}{A}_i\right)=P\left(\bigcup _{i=1}^k{A}_i\right)+P\left(A_{k+1}\right)-P\left[\bigcup _{i=1}^k(A_i\cap A_{k+1})\right]\end{array}$$ ここで、帰納法の仮定より、 $$\begin{array}{rl}P\left(\bigcup _{i=1}^{k+1}{A}_i\right)& =P\left(\bigcup _{i=1}^{k+1}{A}_i\right)-\sum _{i=1}^k\sum _{1\le l_1<\cdots <l_i<\cdots \le n}{(-1)}^{i+1}P\left[\bigcup _{i=1}^k(A_i\cap A_{k+1})\right]\\ & =P\left(\bigcup _{i=1}^{k+1}{A}_i\right)+\sum _{i=1}^k\sum _{1\le l_1<\cdots <l_i<\cdots \le n}{(-1)}^{i+2}P\left[\bigcup _{i=1}^k(A_i\cap A_{k+1})\right]\\ & =\sum _{i=1}^{k+1}\sum _{1\le l_1<\cdots <l_i<\cdots \le n}{(-1)}^{i+1}P\left[\bigcap _{j=1}^i{A}_{l_j}\right]\end{array}$$ よって、$n=k+1$ のときにも命題が成り立つ。

（i）～（iii）から、数学的に帰納法により、 $$\begin{array}{r}P\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)=\sum _{i=1}^n\sum _{1\le l_1<\cdots <l_i<\cdots \le n}{(-1)}^{i+1}P\left[\bigcap _{j=1}^i{A}_{l_j}\right]\end{array}$$ $◼$

（III）ド・モルガンの法則 ${(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n)}^C=A_1^C\cap A_2^C\cap \cdots \cap A_n^C$ より、 $$\begin{array}{r}P\left\{{(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n)}^C\right\}=P(A_1^C\cap A_2^C\cap \cdots \cap A_n^C)\end{array}$$ 確率の基本性質 $P\left(A^C\right)=1-P\left(A\right)$ より、 $$\begin{array}{c}1-P(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n)=P(A_1^C\cap A_2^C\cap \cdots \cap A_n^C)\\ P(A_1\cup A_2\cup A_3\cup \cdots \cup A_n)=1-P(A_1^C\cap A_2^C\cup \cdots \cup A_n^C)\end{array}$$ $◼$