本稿では、ド・モルガンの法則を証明しています。
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【定理】ド・モルガンの法則
【定理】
ド・モルガンの法則
De Morgan's Laws
任意の集合 $A_1,A_2, \cdots ,A_n$ について、
（i）
\begin{gather}
\left(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n\right)^C=A_1^C\cap A_2^C\cap \cdots \cap A_n^C\\
A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n= \left(A_1^C\cap A_2^C\cap \cdots \cap A_n^C\right)^C\\
\end{gather}
記号を用いて表すと、
\begin{gather}
\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)^C=\bigcap_{i=1}^{n}A_i^C\\
\bigcup_{i=1}^{n}A_i= \left(\bigcap_{i=1}^{n}A_i^C\right)^C
\end{gather}
（ii）
\begin{gather}
\left(A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n\right)^C=A_1^C\cup A_2^C\cup \cdots \cup A_n^C\\
A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n= \left(A_1^C\cup A_2^C\cup \cdots \cup A_n^C\right)^C
\end{gather}
記号を用いて表すと、
\begin{gather}
\left(\bigcap_{i=1}^{n}A_i\right)^C=\bigcup_{i=1}^{n}A_i^C\\
\bigcap_{i=1}^{n}A_i= \left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i^C\right)^C
\end{gather}
が成り立つ。
例えば、集合が2つの場合、集合 $A,B$ について、
\begin{gather}
\left(A\cup B\right)^C=A^C\cap B^C \quad \left(A\cap B\right)^C=A^C\cup B^C
\end{gather}
証明
（a-i）$x\in \left(A\cup B\right)^C$ とすると、補集合の定義から \begin{align} x\notin A\cup B \end{align} すなわち、$x$ は $A$ にも $B$ にも属さないので、 \begin{align} x\notin A \quad \mathrm{and} \quad x\notin B \end{align} ゆえに、 \begin{align} x\in A^C \quad \mathrm{and} \quad x\in B^C \end{align} よって、 \begin{align} x\in A^C\cap B^C \end{align} したがって、 \begin{align} \left(A\cup B\right)^C\subset A^C\cap B^C \end{align}
（a-ii）$x\in A^C\cap B^C$ とすると、共通部分の定義から \begin{align} x\in A^C \quad \mathrm{and} \quad x\in B^C \end{align} すなわち、$x$ は $A$ にも $B$ にも属さないので、 \begin{align} x\notin A \quad \mathrm{and} \quad x\notin B \end{align} よって、 \begin{align} x\notin A\cup B \end{align} したがって、 \begin{align} A^C\cap B^C\subset \left(A\cup B\right)^C \end{align} （a-i）（a-ii）より、 \begin{align} \left(A\cup B\right)^C=A^C\cap B^C \end{align} $\blacksquare$
（b）$X,Y$ を任意の集合とすると、 \begin{align} \left(X\cup Y\right)^C=X^C\cap Y^C \end{align} このとき、両辺の補集合を取ると、 \begin{align} \left\{ \left(X\cup Y\right)^C\right\}^C= \left(X^C\cap Y^C\right)^C \end{align} このとき、$ \left\{ \left(X\cup Y\right)^C\right\}^C=X\cup Y$ なので、 \begin{align} X\cup Y= \left(X^C\cap Y^C\right)^C \end{align} ここで、$X=A^C,Y=B^C$ とすると、$X^C=A,Y^C=B$ なので、 \begin{align} \left(A\cap B\right)^C=A^C\cup B^C \end{align} $\blacksquare$
参考文献
- 小寺 平治 著. 数理統計：明解演習. 共立出版, 1986, p.2
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.3
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