ド・モルガンの法則の証明-あるノマドの知の旅路～数学・統計学への道

ド・モルガンの法則の証明

公開日： 2023/03/01

本稿では、ド・モルガンの法則を証明しています。

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目次[非表示]

1.【定理】ド・モルガンの法則
- 1.1.証明
2.参考文献
3.関連記事

【定理】ド・モルガンの法則

【定理】
ド・モルガンの法則
De Morgan's Laws

任意の集合 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ について、
（i） $\begin{matrix} {(A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n})}^{C} = A_{1}^{C} \cap A_{2}^{C} \cap \dots \cap A_{n}^{C} \\ A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n} = {(A_{1}^{C} \cap A_{2}^{C} \cap \dots \cap A_{n}^{C})}^{C} \end{matrix}$ 記号を用いて表すと、 $\begin{matrix} {(⋃_{i = 1}^{n} A_{i})}^{C} = ⋂_{i = 1}^{n} A_{i}^{C} \\ ⋃_{i = 1}^{n} A_{i} = {(⋂_{i = 1}^{n} A_{i}^{C})}^{C} \end{matrix}$ （ii） $\begin{matrix} {(A_{1} \cap A_{2} \cap \dots \cap A_{n})}^{C} = A_{1}^{C} \cup A_{2}^{C} \cup \dots \cup A_{n}^{C} \\ A_{1} \cap A_{2} \cap \dots \cap A_{n} = {(A_{1}^{C} \cup A_{2}^{C} \cup \dots \cup A_{n}^{C})}^{C} \end{matrix}$ 記号を用いて表すと、 $\begin{matrix} {(⋂_{i = 1}^{n} A_{i})}^{C} = ⋃_{i = 1}^{n} A_{i}^{C} \\ ⋂_{i = 1}^{n} A_{i} = {(⋃_{i = 1}^{n} A_{i}^{C})}^{C} \end{matrix}$ が成り立つ。例えば、集合が2つの場合、集合 $A, B$ について、 $\begin{matrix} {(A \cup B)}^{C} = A^{C} \cap B^{C} {(A \cap B)}^{C} = A^{C} \cup B^{C} \end{matrix}$

証明

（a-i） $x \in {(A \cup B)}^{C}$ とすると、補集合の定義から $\begin{array}{r} x \notin A \cup B \end{array}$ すなわち、 $x$ は $A$ にも $B$ にも属さないので、 $\begin{array}{r} x \notin A and x \notin B \end{array}$ ゆえに、 $\begin{array}{r} x \in A^{C} and x \in B^{C} \end{array}$ よって、 $\begin{array}{r} x \in A^{C} \cap B^{C} \end{array}$ したがって、 $\begin{array}{r} {(A \cup B)}^{C} \subset A^{C} \cap B^{C} \end{array}$

（a-ii） $x \in A^{C} \cap B^{C}$ とすると、共通部分の定義から $\begin{array}{r} x \in A^{C} and x \in B^{C} \end{array}$ すなわち、 $x$ は $A$ にも $B$ にも属さないので、 $\begin{array}{r} x \notin A and x \notin B \end{array}$ よって、 $\begin{array}{r} x \notin A \cup B \end{array}$ したがって、 $\begin{array}{r} A^{C} \cap B^{C} \subset {(A \cup B)}^{C} \end{array}$ （a-i）（a-ii）より、 $\begin{array}{r} {(A \cup B)}^{C} = A^{C} \cap B^{C} \end{array}$ $◼$

（b） $X, Y$ を任意の集合とすると、 $\begin{array}{r} {(X \cup Y)}^{C} = X^{C} \cap Y^{C} \end{array}$ このとき、両辺の補集合を取ると、 $\begin{array}{r} {{(X \cup Y)}^{C}}^{C} = {(X^{C} \cap Y^{C})}^{C} \end{array}$ このとき、 ${{(X \cup Y)}^{C}}^{C} = X \cup Y$ なので、 $\begin{array}{r} X \cup Y = {(X^{C} \cap Y^{C})}^{C} \end{array}$ ここで、 $X = A^{C}, Y = B^{C}$ とすると、 $X^{C} = A, Y^{C} = B$ なので、 $\begin{array}{r} {(A \cap B)}^{C} = A^{C} \cup B^{C} \end{array}$ $◼$

参考文献

小寺平治著. 数理統計：明解演習. 共立出版, 1986, p.2
野田一雄, 宮岡悦良著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.3

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